रैखिक समीकरण की परिभाषा , प्रकार , व्यापक हल , व्यापक हल ज्ञात करने की विधियाँ | PDF Download |

रैखिक समीकरण की परिभाषा , प्रकार , व्यापक हल , व्यापक हल ज्ञात करने की विधियाँ | PDF Download |

इस लेख में हमारे द्वारा रैखिक समीकरण की परिभाषा,सूत्र,प्रकार एवं उदाहरण और महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी दिए गए है जो कक्षा 8 से 10,कक्षा 10 NCERT रैखिक समीकरण notes in hindi तथा 11 एवं 12 के लिए अतिमहत्वपूर्ण है | कक्षा 8 से 10 NCERT के लिए तो यह लेख बहुत ही फायदेमंद है | आप हमे नीचे comment करके बता सकते है कि आपको यह लेख कैसा लगा |

{tocify} $title={Table of Contents}

Raikhik samikaran ki paribhasha , udaharan, sutra , prakar, vyapak hal gyat karne ki vidhiyan :-

रैखिक समीकरण क्या है / रैखिक समीकरण किसे कहते है ?

रैखिक समीकरण की परिभाषा के अनुसार , वह समीकरण जिसमे चर की अधिकतम घात 1 हो , उसे रैखिक समीकरण कहते है | इसे एक चर में रैखिक समीकरण भी कहतें है |

रैखिक समीकरण का व्यापक रूप या मानक रूप सूत्र -

ax + b = 0 जहाँ a , b → वास्तविक संख्याएँ तथा a ≠ 0

रैखिक समीकरण के उदाहरण ( Raikhik samikaran Examples ) :-

5x + 4 = 0 2x - 7 = 0

1. दो चरों में रैखिक समीकरण किसे कहते है ?

वह समीकरण जिसको ax + by + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है , जहाँ a , b और c वास्तविक संख्याएँ है और a व b दोनों शून्य नही है , दो चरों x और y में एक रैखिक समीकरण कहलाता है |

दो चरों x और y में रैखिक समीकरण का व्यापक रूप या मानक रूप :-

ax + by + c = 0 जहाँ a , b , c → वास्तविक संख्याएँ तथा a2 + b2 ≠ 0

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के उदाहरण :-

2x + 3y - 7 = 0
9x - 2y + 8 = 0
x + y = 7

दो चरों x और y में रैखिक समीकरण युग्म का व्यापक रूप :-

a1x + b1y + c1 = 0
और a2x + b2y + c2 = 0
जहाँ a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 → सभी वास्तविक संख्याएँ है
और a12 + b12 ≠ 0 तथा a22 + b22 ≠ 0 है |

रैखिक समीकरण हल करने की विधियाँ :-

1. प्रतिस्थापन विधि
2. विलोपन विधि
3. वज्र - गुणन विधि

रैखिक समीकरण हल करने की विधियाँ :-

यहाँ हम सीखेंगे कि दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म कैसे हल करें और साथ ही हम यह भी जानेगें कि रैखिक समीकरण का हल कैसे ज्ञात किया जाता है |

रैखिक समीकरण हल करने की मुख्यतः तीन विधियाँ है जिनका उदाहरण सहित चरणबद्ध वर्णन निम्न प्रकार है -

1. प्रतिस्थापन विधि :-

इस विधि में एक चर का मान दूसरे चर के पद में व्यक्त करके , रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है , इसलिए इस विधि को प्रतिस्थापन विधि कहते है |

उदाहरण :- प्रतिस्थापन विधि द्वारा निम्न रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए ?

x + 3y = 6 ...........(1)
2x - 3y = 12 ...........(2)

हल :-

चरण - I :- किसी भी एक समीकरण को लेतें है और किसी एक चर को दूसरे के पदों में लिखते है - x + 3y = 6 x = 6 - 3y

चरण - II :- x का यह मान समीकरण (2) में रखने पर
2x - 3y = 12
2(6 - 3y) - 3y = 12
12 - 6y - 3y = 12
12 - 9y = 12
12 - 12 = 9y
y = 0

चरण - III :- y का यह मान समीकरण (1) में रखने पर
x + 3y = 6
x + 3(0) = 6
x = 6
अत: x = 6 तथा y = 0

2. विलोपन विधि :-

वह विधि जिसमें एक चर को विलुप्त कर दिया जाता है उसे विलोपन विधि कहते है |
यह विधि तीनों विधियों में सबसे सरलतम विधि है |

उदाहरण - विलोपन विधि द्वारा निम्न रैखिक समीकरण युग्मों के हल ज्ञात कीजिए x + y = 5 .........(1) 2x - 3y = 4 .........(2)

हल :-

चरण - I :- y के गुणकों को समान करने के लिए समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर 3x + 3y = 5 .........(1) 2x - 3y = 4 ..........(2)

चरण - II :- समीकरण (1) तथा समीकरण (2) को जोड़ने पर (3x + 3y) + (2x - 3y) = 5 + 4
3x + 3y + 2x - 3y = 9
5x = 9
x = 9/5

चरण - III :- x का यह मान समीकरण (1) में रखने पर x + y = 5
9/5 + y = 5
y = 5 - 9/5
y = (25 - 9) / 5
y = 16/5
अत: x = 9/5 तथा y = 16/5

3. वज्र - गुणन विधि :-

इस विधि को हम एक उदाहरण की सहायता से समझेंगे |

उदाहरण - वज्र गुणन विधि द्वारा रैखिक समीकरण युग्मों के हल ज्ञात कीजिए | 2x + 3y = 46
3x + 5y = 74

हल :-

चरण - I :- सर्वप्रथम दोनों समीकरणों को शून्य के बराबर करते है 2x + 3y - 46 = 0 .........(1) 3x + 5y - 74 = 0 .........(2)

चरण - II :- इन समीकरणों को हल करने के लिए हम निम्न प्रकार से चित्र खीचते है -

x / (3)(-74) - (5)(-46)
=
y / (-46)(3) - (-74)(2)
=
1 / (2)(5) - (3)(3)
x / -222 + 230
=
y / -138 + 148
=
1 / 10 - 9
x / 8
=
y / 10
=
1 / 1
अर्थात्
x / 8
=
1 / 1
और
y / 10
=
1 / 1

x = 8 और y = 10


रैखिक समीकरण की परिभाषा , प्रकार , व्यापक हल , व्यापक हल ज्ञात करने की विधियाँ Download PDF

Download PDF

Download PDF
3.4 MB

✹ इन्हें भी पढ़े :-

  1. गणित के सभी सूत्र ( Maths ke sabhi sutra )
  2. समांतर श्रेणी / श्रेढ़ी की परिभाषा , सूत्र , प्रकार तथा प्रश्नोतरी
  3. गुणोत्तर श्रेणी की परिभाषा , सूत्र , प्रकार तथा महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी
  4. कोणों के प्रकार (Types of Angles) परिभाषा , उदाहरण एवं चित्र सहित
  5. प्रतिशतता के नियम , सूत्र तथा प्रतिशतता का अध्धयन | PERCENTAGE FORMULA |
  6. त्रिकोणमिति के सूत्र ( Trigonometry Formula)
  7. औसत के नियम,सूत्र एवं प्रश्नोत्तरी
  8. लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक के नियम,सूत्र एवं प्रश्नोत्तर (LCM and HCF in hindi)
  9. लाभ और हानि के सूत्र एवं महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तरी ( Profit and Loss Formula )
  10. बट्टा के सूत्र और महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तरी ( Discount Formulas )
  11. साधारण ब्याज / सरल ब्याज के सूत्र एवं महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तरी | Simple Interest Formula |
  12. चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र एवं महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तरी ( Compound Interest Formula and MCQS)
  13. विभाजकता के नियम / सूत्र ( Rules/Formulas of Divisibility )
  14. वृत्त के सूत्र ( circle Formula )
  15. त्रिभुज के सूत्र ( tribhuj formula )
  16. माध्य , माध्यक और बहुलक से सम्बंधित परिभाषा , सूत्र तथा प्रश्नोतरी
  17. घात और घातांक एवं करणी की महत्वपूर्ण परिभाषा एवं सूत्र ( Power , Indices and Surds )
  18. परिमेय संख्या ( Rational Number )
  19. वर्ग और वर्गमूल , भागफल विधि , अभाज्य गुणनखंड
  20. घन एवं घनमूल ( Cube and Cubic Root )
  21. गोले / अर्द्धगोले की परिभाषा एवं सूत्र
  22. वृत्त ( Circle ) से सम्बंधित परिभाषा , सूत्र एवं गुण ( नियम )
  23. बहुभुज एवं समबहुभुजो के सूत्र ( Polygon Formula )
  24. प्रिज्म ( Prism ) के सूत्र, परिभाषा एवं महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तरी
  25. पिरामिड ( PYRAMID ) के सूत्र
  26. समचतुष्फलक ( Tetrahedron ) के सूत्र
  27. Number System( संख्या पद्दति ) Important Questions For REET
  28. चतुर्भुज के सूत्र
  29. घन के सूत्र , गुण एवं नियम ( cube formula )
  30. घनाभ के सूत्र , गुण एवं नियम ( cuboid formula )
  31. बीजगणित के सूत्र ( Algebra Formula)
  32. चतुर्भुज के प्रकार ,उनके गुण एवं सूत्रों का अध्धयन
  33. टाइटल - निर्देशांक ज्यामिति से सम्बंधित परिभाषा , सूत्र तथा प्रश्नोतरी
  34. अवकलन के सूत्र तथा सीमा एवं सांतत्य की परिभाषा,सूत्र एवं प्रमेय
  35. अवकलनीयता एवं अवकलज (Differentiability and Derivatives)
  36. त्रिभुज के परिकेंद , अंत: केंद्र , गुरुत्व केंद्र एवं लंब केंद्र
  37. Alphabet Based Analogy ( वर्णमाला पर आधारित सादृश्यता ) Previous Year Questions
  38. Number Based Analogy ( संख्या पर आधारित सादृश्यता ) Previous Year Questions
  39. त्रिभुज की माध्यिका , शीर्षलंब , कोण समद्विभाजक तथा लंब समद्विभाजक का अध्धयन
  40. त्रिभुज के प्रकार
  41. त्रिभुज व त्रिभुज के महत्वपूर्ण गुण एवं नियम
  42. Coding and Decoding ( संकेतबद्धता ) Practice set - 1 [ Reasoning ]
  43. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन की परिभाषा , सूत्र , उपयोग तथा महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी
  44. वृत्त ( Circle) की परिभाषा , मानक/व्यापक सूत्र तथा महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी
  45. दीर्घवृत्त ( Ellipse) की परिभाषा , सूत्र तथा महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी
  46. अतिपरवलय(Hyperbola) का अर्थ,परिभाषा , सूत्र एवं महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी
  47. परवलय (Parabola) की परिभाषा , सूत्र तथा महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी
  48. सरल रेखा की परिभाषा , गुण , विशेषताएँ , सूत्र तथा प्रश्नोतरी
  49. गणितीय आगमन का सिद्दांत (Principal of Mathematical Induction)
  50. Number System Quiz Part - 1
  51. Number System (संख्या पद्धति) Formulas, Questions, Tricks, PDF Download

Maths Notes की Free PDF यहां से Download करें


सभी बिषयवार Free PDF यहां से Download करें

एक टिप्पणी भेजें (0)
और नया पुराने