गुणोत्तर श्रेणी की परिभाषा , सूत्र , प्रकार तथा महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी

इस लेख में हमारे द्वारा गुणोत्तर श्रेणी की परिभाषा , सूत्र , प्रकार तथा महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी दिए गए है जो कक्षा 10 तथा 11 एवं 12 के लिए अतिमहत्वपूर्ण है | कक्षा 11,12 NCERT के लिए तो यह लेख बहुत ही फायदेमंद है | आप हमे नीचे comment करके बता सकते है कि आपको यह लेख कैसा लगा |

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श्रेढ़ी ( श्रेणी ) क्या है / श्रेढ़ी ( श्रेणी ) किसे कहते है ( What is Progression ) :-

कोई भी श्रेढ़ी एक ऐसा अनुक्रम होती है जो कुछ विशेष गणितीय नियमों का पालन करती है तो उसे श्रेणी कहते है |
जैसे :- लगातार दो पदों का अंतर समान या अचर हो
लगातार दो पदों का अंतर सर्वदा अचर हो
लगातार पदों का व्युत्क्रम समान हों
उदाहरण :- 2,4,6,8 ..................

श्रेणी के प्रकार ( Types of Progression ) :-

गणितीय विशेषज्ञों के अनुसार श्रेढ़ी के मुख्यतः तीन प्रकार होते हैं हैं जो निम्न प्रकार है -
1. समांतर श्रेणी ( Arithmetic Progression )
2. गुणोत्तर श्रेणी ( Geometric Progression )
3. हरात्मक श्रेणी ( Harmetric Progression )

इस लेख में हम केवल गुणोत्तर श्रेणी का ही अध्धयन करेंगे |

गुणोत्तर श्रेणी ( Geometric Progression ) क्या है / गुणोत्तर श्रेणी किसे कहते है :-

गुणोत्तर श्रेणी की परिभाषा के अनुसार , वह श्रेणी जिसमे प्रथम पद को छोड़कर , हर अगला पद अपने पिछले पद से अचर अनुपात में बढता है तो इस प्रकार की श्रेणी को गुणोत्तर श्रेणी कहते है

उदहारण :- (1) 2,4,8,16 ................

(2)

1 / 9

-1 / 27

-1 / 81

-1 / 243

...........

गुणोत्तर श्रेणी को संक्षेप में G.P. कहते है तथा इसका विस्तारित रूप ( Full Form ) Geometric Progression होता है |

गुणोत्तर श्रेणी की प्रत्येक संख्या एक पद ( term ) कहलाता है |

G.P की full form ( Full form of G.P. ) :-

G.P = Geometric Progression ( गुणोत्तर श्रेणी )

गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद ( First term of G.P. ) :-

गुणोत्तर श्रेणी की सूची की प्रथम संख्या G.P. का प्रथम पद कहलाता है इसी प्रकार दूसरी संख्या , दूसरा पद तथा तीसरी संख्या , तीसरा पद कहलाता है | प्रथम पद को a से व्यक्त करते है |
उदहारण :- 2,4,8,16 .............

प्रथम पद a = 2
दूसरा पद a₂ = 4
तीसरा पद a₃ = 8 आदि |

गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात ( Common Ratio of G.P. ) :-

गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद को छोड़कर , हर अगला पद अपने पिछले पद से अचर अनुपात में बढ़ता है | यही अचर अनुपात गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात कहलाता है | सार्व अनुपात को r से व्यक्त किया जाता है सार्व अनुपात धनात्मक , ऋणात्मक हो सकता है |
सार्व अनुपात का मान प्रत्येक स्थिति में समान प्राप्त होता है | माना कोई गुणोत्तर श्रेणी है जिसके पद निम्न प्रकार है - a₁,a₂,a₃,a₄ ------------

सार्व अनुपात (r) =

a₂ / a₁

a₃ / a₂

a₄ / a₃

...........

गुणोत्तर श्रेणी का व्यापक रूप ( General term of a G.P. ) :-

a,ar,ar²,ar³, ............... ar^{n - 1} जहाँ प्रथम पद = a
सार्व अनुपात = r
पदों की संख्या = n
इसे ही गुणोत्तर श्रेणी का व्यापक रूप / मानक रूप कहते है |

गुणोत्तर श्रेणी के प्रकार ( Types of a G.P. ) :-

गुणोत्तर श्रेणी मुख्यतः दो प्रकार की होती है
जिनका उदाहरण सहित वर्णन निम्न प्रकार है -

परिमित गुणोत्तर श्रेणी ( Finite G.P. ) :-

वह गुणोत्तर श्रेणी जिसमें पदों की संख्या परिमित ( Finite ) हो , उसे परिमित गुणोत्तर श्रेणी कहते है |
इस श्रेणी का एक निश्चित अंतिम पद होता है |
परिमित गुणोत्तर श्रेणी का व्यापक रूप - a,ar,ar²,ar³, ............... ar^{n - 1}

अपरिमित गुणोत्तर श्रेणी ( Infinite G.P. ) :-

वह गुणोत्तर श्रेणी जिसमें पदों की संख्या परिमित ( Infinite ) हो , उसे अपरिमित गुणोत्तर श्रेणी कहते है |
इस श्रेणी का अंतिम पद नही होता है |
अपरिमित गुणोत्तर श्रेणी का व्यापक रूप - a,ar,ar²,ar³, ............... ar^{n - 1}, ............

गुणोत्तर श्रेणी का n वां पद का सूत्र ( n^th term of a G.P. ) :-

यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्व अनुपात r हो तो उसका n वां पद निम्न सूत्र से ज्ञात किया जाता है |
a_n = ar^{n - 1}
यहाँ a = प्रथम पद
r = सार्व अनुपात
n = पदों की संख्या
a_n = गुणोत्तर श्रेणी के n वें पद को a_n या T_n से व्यक्त करते है | a_n को गुणोत्तर श्रेणी का व्यापक पद भी कहा जाता है |

गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योगफल का सूत्र ( Sum to n terms of a G.P. ) :-

किसी गुणोत्तर श्रेणी के n पदों का योग S निम्न सूत्रों से प्राप्त होता है -

S_n = a [

1 - rⁿ / 1 - r

] जहाँ r < 1 तथा r ≠ 1

S_n = a [

rⁿ - 1 / r - 1

] जहाँ r > 1 तथा r ≠ 1

यहाँ a = प्रथम पद
r = सार्व अनुपात
n = पदों की संख्या
S_n = G.P. के n पदों का योग

गुणोत्तर श्रेणी के अनंत पदों का योग का सूत्र :-

माना कि कोई गुणोत्तर श्रेणी जिसका प्रथम पद a तथा सार्व अनुपात r है तथा यह श्रेणी अनंत गुणोत्तर श्रेणी है -
a,ar,ar²,ar³, ...............

तब G.P. के अनंत पदों का योग -

S_∞ =

a / 1 - r

गुणोत्तर माध्य का सूत्र ( Geometric Mean ) :-

माना a , G , c तीनों एक G.P. बनाते है तब

गुणोत्तर माध्य ( G ) = √ab

उदाहरण :-
2 तथा 8 का गुणोत्तर माध्य - G = √2 x 8 = 4

समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य के बीच सम्बन्ध ( Relation between A.M. and G.M. ) :-

माना कि दो धनात्मक संख्याओं a तथा b के बीच क्रमश: समांतर माध्य A.M. तथा गुणोत्तर माध्य G.M. है -
तब समांतर माध्य A.M. = (a + b)/2
गुणोत्तर माध्य G.M. = √ab

इस प्रकार

A.M. - G.M. = =

( √a - √b )2 / 2

≥ 0

अत: हम कह सकते है कि - A.M. ≥ G.M.

गुणोत्तर श्रेणी के सभी सूत्र ( G.P. all formulas ) :-

1. गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद = a
सार्व अनुपात = r
पदों की संख्या = n
n वां पद ( अंतिम पद ) = a_n या T_n
n पदों का योग = S_n

2. सार्व अनुपात (r) =

a₂ / a₁

a₃ / a₂

a₄ / a₃

, ...........

3. गुणोत्तर श्रेणी का व्यापक रूप ( General term of a G.P. ) :- a,ar,ar²,ar³, ............... ar^{n - 1}

4. n वां पद -
a_n = ar^{n - 1}

5. n पदों का योग -

S_n = a [

1 - rⁿ / 1 - r

] जहाँ r < 1 तथा r ≠ 1

S_n = a [

rⁿ - 1 / r - 1

] जहाँ r > 1 तथा r ≠ 1

6. G.P. के अनंत पदों का योग

S_∞ =

a / 1 - r

7. समांतर माध्य A.M. =

a + b / 2

8. गुणोत्तर माध्य G.M. = √ab

9. समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य के बीच सम्बन्ध ( Relation between A.M. and G.M. ) :-
A.M. ≥ G.M.

गुणोत्तर श्रेणी से सम्बंधित प्रश्न उत्तर ( G.P. Question and Answer ) / गुणोत्तर श्रेणी के सवाल :-

1. गुणोत्तर श्रेणी 5 , 25 , 125 , ............ का 10 वां पद तथा n वां पद ज्ञात कीजिए ?

प्रथम पद ( a ) = 5

सार्व अनुपात ( r ) =

a₂ / a₁

25 / 5

= 5

पदों की संख्या ( n ) = 10

सूत्र से -

a_n = ar^{n - 1}

10 वां पद :-

a₁₀ = (5)(5)^{10 - 1}

a₁₀ = 5(5)⁹

a₁₀ = (5)¹⁰

n वां पद :-

a_n = ar^{n - 1}

a_n = (5)(5)^{n - 1}

a_n = (5)ⁿ

2. गुणोत्तर श्रेणी 2 , 8 , 32 ............... का कौनसा पद 131072 है ?

प्रथम पद ( a ) = 2

सार्व अनुपात ( r ) =

a₂ / a₁

8 / 2

= 4

माना G.P. का n वां पद a_n = 131072

सूत्र से -

a_n = ar^{n - 1}

131072 = (2)(4)^{n - 1}

4⁸ = 4^{n - 1}

अत: हम कह सकते है कि -

n - 1 = 8

n = 9

अर्थात् दी गई G.P. का 9 वां पद 131072 है

3. गुणोत्तर श्रेणी 6 , 36 , 216 , ........ के 5 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए

प्रथम पद a = 6

सार्व अनुपात ( r ) =

a₂ / a₁

36 / 6

= 6 { यहाँ r > 1 }

पदों की संख्या (n) = 5

पदों के योग सूत्र से -

S_n = a [

rⁿ - 1 / r - 1

]

5 पदों का योग S₅ = 6 [

6⁵ - 1 / 6 - 1

]

S₅ = 6 [

7776 - 1 / 5

]

S₅ = 6 [

7775 / 5

]

S₅ = 9330

4. यदि दो धनात्मक संख्याओं a तथा b के बीच समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य क्रमशः 10 तथा 8 है तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए ?

समांतर माध्य A =

a + b / 2

10 =

a + b / 2

a + b = 20 ........(1)

गुणोत्तर माध्य G.M. = √ab

8 = √ab

ab = 64 ...........(2)

हम जानते है कि -

(a-b)² = (a+b)² - 4ab

(a-b)² = (20)² - 4(64)

(a-b)² = 144

(a-b)² = √144

(a-b) = +12 .........(3)

समीकरण (1) व (2) को हल करने पर

a = 4 तथा b = 16
या a = 16 तथा b = 4

गुणोत्तर माध्य का सूत्र :-

G.M. = √ab

गुणोत्तर श्रेणी meaning in English :-

Geometric Progression

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