त्रिभुज व त्रिभुज के महत्वपूर्ण गुण एवं नियम

त्रिभुज व त्रिभुज के महत्वपूर्ण गुण एवं नियम

✹ त्रिभुज व त्रिभुज के महत्वपूर्ण गुण एवं नियम का अध्धयन :- ( tribhuj v tribhuj ke mahtvpurn guna evm niyam )

 त्रिभुज

1. त्रिभुज की परिभाषा :-

तीन भुजाओं से घिरी हुई बंद आकृति त्रिभुज कहलाती है , आकृति में AB , BC , CA तीनों भुजाएं है ।


2. त्रिभुज की भुजा एवं कोण :-

त्रिभुज में तीन शीर्ष , तीन भुजाएं एवं तीन कोण होते हैं ।


3. त्रिभुज के शीर्ष :-

त्रिभुज में तीनों शीर्ष ( A , B , C ) होते हैं ।


4. त्रिभुज के अंतः कोण :-

त्रिभुज के तीनों अंतः कोणों का योग 180° होता है ।
A + B + C = 180


5. त्रिभुज के बाह्य कोण :-

त्रिभुज के तीनों बाह्य कोणों का योग 360° होता है ।
∠x + ∠y + ∠z = 180


6. त्रिभुज के भुजाओं का गुण :-

त्रिभुज की दो भुजाओं का योग सदैव तीसरी भुजा से बड़ा होता है । उदाहरण के तौर पर :- AC < AB + BC


7. त्रिभुज के कोणों का गुण :-

त्रिभुज के किसी एक बाह्य कोण का मान, दो विपरीत अंतः कोणों के योग के बराबर होता है ।

त्रिभुज के कोणों का  गुण
∠x = ∠A + ∠B
∠y = ∠B + ∠C
∠z = ∠A + ∠C


8. त्रिभुज में बड़े कोण के सामने वाली भुजा सबसे बड़ी तथा छोटे कोण के सामने वाली भुजा सबसे छोटी होती है ।


9. त्रिभुज का परिमाप =

तीनो भुजाओं का योग


10. त्रिभुज का क्षेत्रफल =
1 / 2
x आधार x ऊंचाई

11. हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल =

√ s(s-a)(s-b)(s-c)


जहां अर्ध परिमाप ( S ) =
a + b + c / 2

12. त्रिभुज का Sin सूत्र =

 त्रिभुज का Sin सूत्र
SinA / a
=
SinB / b
=
SinC / c

13. त्रिभुज का Cos सूत्र =

 त्रिभुज  का Cos सूत्र
CosA =
b2 + c2 - a2 / 2bc
तथा CosB =
c2 + a2 - b2 / 2ac
तथा Cosc =
a2 + b2 - c2 / 2ab

14. दो या दो से अधिक त्रिभुज का यदि आधार समान है तो उनके क्षेत्रफलो का अनुपात वही होता है जो उनके ऊंचाई का अनुपात होता है ।

∆ABC का क्षेत्रफल / ∆BDC का क्षेत्रफल
=
h1 / h2
15. त्रिभुज की मध्य बिंदु प्रमेय :- यदि किसी त्रिभुज की किसी भी दो भुजाओं के मध्य बिंदु को मिलाया दिया जाए तो DE ||BC तथा DE =
1 / 2
BC
तब
AD / DB
=
AE / EC

16. यदि त्रिभुज की तीनो भुजाओं के मध्य बिंदुओ को मिला दिया जाए तो जहां D, E, F क्रमश: तथा के मध्य बिंदु हैं

∆ADE का क्षेत्रफल / ∆ABC का क्षेत्रफल
=
1 / 4
∆DEF का क्षेत्रफल / ∆ABC का क्षेत्रफल
=
1 / 4

17. त्रिभुज की समरूपता :-

यदि दो त्रिभुज ∆ABC तथा ∆DEF समरूप है तो


∆ABC का क्षेत्रफल / ∆DEF का क्षेत्रफल
= (
AB / DE
)2 = (
BC / EF
)2 = (
AC / DF
)2 = (
∆X / ∆Y
)2
∆ABC का क्षेत्रफल / ∆DEF का क्षेत्रफल
= (
∆ABC का क्षेत्रफल / ∆DEF का क्षेत्रफल
) 2

नोट :- यदि किन्हीं दो त्रिभुजों के तीनों कोण या कोई दो कोण बराबर है तो वें त्रिभुज समरूप होंगे |

18. त्रिभुज की सर्वांगसमता :-

दो त्रिभुज परस्पर सर्वांगसम होंगे यदि

1. उनकी तीनों भुजाएं बराबर हो ( SSS नियम )
2. दो कोण तथा एक भुजा बराबर हो ( ASA नियम )
3. दोनों भुजा तथा एक कोण बराबर हो ( SAS नियम ) ।

इन्हें भी पढ़े :-

1. चतुर्भुज के प्रकार ,उनके गुण एवं सूत्रों का अध्धयन
2. Number System Basics Formulas, Questions, Tricks

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