लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक के नियम,सूत्र एवं प्रश्नोत्तर (LCM and HCF in hindi)

लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक के नियम,सूत्र एवं प्रश्नोत्तर (LCM and HCF in hindi)

Definition of LCM and HCF in hindi

समापवर्त्य ( Common Multiple) :-

वह संख्या जो दो या दो से अधिक संख्याओ में से प्रत्येक से पूर्णत: विभाजित होती हो , तो वह संख्या उन संख्याओ की समापवर्त्य कहलाती है |
जैसे - 2,4,6 का समापवर्त्य 12,24,36 आदि


समापवर्तक (Common factor) :-

वह संख्या जो दो या दो से अधिक संख्याओं में से प्रत्येक संख्या को पूर्णत: विभाजित करे,तो वह संख्या उन संख्याओ की समापवर्तक कहलाती है
जैसे - 10,20,30 के विभिन्न समापवर्तक 2,5,10 है


महत्तम समापवर्तक (HCF) :-

इसे महत्तम उभयनिष्ठ भाजक (Greatest Common Divisor) भी कहा जाता है तथा संक्षिप्त रूप में इसे म.स. कहा जाता है
जब एक बड़ी से बड़ी संख्या जो दो या दो से अधिक संख्याओ में से प्रत्येक को पूरी - पूरी विभाजित करती है ,तो वह संख्या उन दोनों संख्याओ का म.स. (HCF) कहलाती है |
उदाहरण के तौर पर -
10,20,30 का म.स. 10 है क्योंकि ये 10,5 व 2 से पूर्णतया विभाजित हो जाती है तथा 10 इनमे सबसे बड़ा है


लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) :-

इसे लघुत्तम उभयनिष्ठ गुणक (Least Common Multiple) भी कहा जाता है तथा संक्षिप्त रूप में इसे ल.स. कहा जाता है
वह छोटी से छोटी संख्या जिसे दो या दो से अधिक संख्याओ में से प्रत्येक से पूर्णत: विभाजित किया जा सके , ल.स. [ लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)] कहलाती है
उदाहरण के तौर पर -
3,5,6 का ल.स. 30 है क्योकि 30,60,90 ........ को ये तीनों संख्याएँ क्रमशः विभाजित कर सकती है तथा 30 इनमे सबसे छोटी संख्या है |


अपवर्तक एवं अपवर्त्य (factor and multiple) :-

यदि एक संख्या x दूसरी संख्या y को पूर्णत: विभाजित करती है तो x को y का अपवर्तक (factor) तथा y को x का अपवर्त्य (multiple) कहते है


HCF और LCM के नियम/सूत्र ( HCF और LCM ke niyam/sutra)

नियम -1. पहली संख्या x दूसरी संख्या = ल.स. x म.स.

नियम -2. पहली संख्या =
ल.स. x म.स. / दूसरी संख्या

नियम -3. दूसरी संख्या =
ल.स. x म.स. / पहली संख्या

नियम -4 . ल.स. =
पहली संख्या x दूसरी संख्या / म.स.

नियम -5.म.स. =
पहली संख्या x दूसरी संख्या / ल.स.

नियम -6.भिन्नों का ल.स. =
अंशों का ल.स. / हरों का म.स.

नियम -7.भिन्नों का म.स. =
अंशों का म.स. / हरों का ल.स.

नियम -8. यदि किन्ही दो या दो से अधिक संख्याओ के बीच कोई भी उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो तो उनका म.स. 1 तथा ल.स. उन संख्याओ का गुणनफल होता है

नियम -9. यदि दो संख्याएँ x:y के अनुपात में हो तथा दोनों एक-दूसरे से अविभाज्य हो तो
प्रथम संख्या = xk ; दूसरी संख्या = yk
जहाँ k एक नियतांक है
म.स. = k
ल.स. = xyk

नियम -10. यदि एक संख्या , दूसरी संख्या का गुणज हो तो उनका ल.स. सबसे बड़ी संख्या तथा म.स. सबसे छोटी संख्या होती है

नियम -11. ल.स. तथा म.स. का मान कभी - भी ऋणात्मक प्राप्त नही हो सकता है

नियम -12. जब कोई संख्या a,b या c में विभाजित किया जाता है तथा प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल 'r' हो तो वह संख्या (k + r) होगा, जहाँ k,a,b, तथा c का लघुत्तम समापवर्त्य है

नियम -13. जब कोई संख्या a,b या c में विभाजित की जाती है और शेषफल क्रमशः p,q तथा r आता है तथा प्रत्येक स्थिति में भाजक तथा शेषफल का अंतर समान हो जैसे-(a-p) = (b-q) = (c-r) = t(माना) , तब वह न्यूनतम संख्या (k-t) होगी , जहाँ k,a,b तथा c का लघुत्तम समापवर्त्य है

नियम -14. वह बड़ी-से-बड़ी संख्या जो संख्याएँ a,b तथा c को विभाजित करे तो समान शेषफल आए | तब वह बड़ी-से-बड़ी संख्या , (a-b),(b-c) तथा (c-a) का महत्तम समापवर्तक होगा

नियम -15. वह बड़ी-से-बड़ी संख्या जो संख्याएँ a,b तथा c को विभाजित करे तथा शेषफल क्रमशः p,q तथा r आये वह संख्या (a-p),(b-q) तथा (c-r) का महत्तम समापवर्तक होगा

नियम -16. n-अंको की बड़ी-से-बड़ी संख्या ज्ञात करो जिसे p,q,r से भाग करने पर कुछ भी शेष न रहे तो वह संख्या होगी ( n-अंको की बड़ी संख्या) - R
R वह शेषफल है जो n अंको की बड़ी संख्या को p,q,r के लघुत्तम समापवर्त्य से भाग करने पर प्राप्त होता |

नियम -17. n-अंको की बड़ी-से-बड़ी संख्या जिसे p,q,r से भाग करने 'a' शेषफल प्राप्त होता है वह संख्या = [n-अंको की बड़ी संख्या - R] + a
R = शेषफल जो n-अंको की बड़ी संख्या को p,q,r के लघुत्तम समापवर्त्य से भाग करने पर प्राप्त होती है

नियम -18. दो या दो से अधिक संख्याओं का ल.स. उन संख्याओं से छोटी नही होता है

नियम -19. दो या दो से अधिक संख्याओं का म.स. उन संख्याओं से बड़ा नही होता है

ल.स.(LCM) तथा म.स.(HCF) निकालने की विधियाँ :-

ल.स. तथा म.स. निकालने की दो विधियाँ होती है -
1. गुणनखंड विधि
2. भाग विधि

Question :- किसी एक विधि द्वारा 12 तथा 16 का ल.स. तथा म.स. ज्ञात करे -

12 तथा 16 का ल.स. = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 48
12 तथा 16 का म.स. :-
12 = 2 x 2 x 3
16 = 2 x 2 x 2 x 2
12 तथा 16 का म.स. = 2 x 2 = 4

LCM and HCF questions in hindi

1. वह छोटी से छोटी संख्या जिसे 4,6,8,12 और 16 से भाग करने पर प्रत्येक दशा में 2 शेष रहे , निम्न है 46 48 50✅ 56

2. पांच अंको की वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 3,5,8,12 से भाग देने पर 2 शेष बचे : 99999 99958 99960 99962✅

3. 10000 के निकटतम वह संख्या , जो 3,4,5,6,7 तथा 8 में से प्रत्येक द्वारा विभाजित होती है, होगी 9240 10080✅ 9996 10000

4. 6,12 तथा 18 में से प्रत्येक से विभाजित होने वाली सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या है 196 144 108 36✅

5. 10,15,20 से पूर्णत: विभाज्य 4-अंको वाली महत्तम संख्या कौन-सी है ? 9990 9960✅ 9980 9995

6. दो असहभाज्य संख्याओ का गुणनफल 117 है तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है 117✅ 9 13 39

7. 2/3 , 4/9 , 5/6 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है 8/27 20/3✅ 10/3 20/27

8. वह न्यूनतम संख्या क्या है जिसे 48, 64, 90, 120 से विभाजित करने पर क्रमश: 38,54,80,110 शेष बचे ? 2870✅ 2860 2890 2880

9. वह सबसे छोटी संख्या कौन-सी है जिसमें 5,6,7 एवं 8 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 3 शेष रहें , किन्तु 9 से भाग देने पर कुछ शेष न रहें ? 1677 1683✅ 2523 3363

10. 1008 को किस एक अंक वाली संख्या से विभाजित किया जाए कि भागफल एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए ? 9 4 8 7✅

11. पांच अंको वाली वह लघुत्तम संख्या बताइए जो 12,18 और 21 से पूर्णत: विभाज्य हो 10224 30256 10080✅ 50321

12. 2/3 , 4/5 तथा 6/7 का महत्तम समापवर्तक (HCF) कितना है ? 48/105 2/105✅ 1/105 24/105

13. 2300 और 3500 को किस महत्तम संख्या से विभाजित किया जाए कि क्रमशः 32 और 56 शेष रहें ? 136 168 42 84✅

14. वह सबसे बड़ी संख्या , जिसके द्वारा 25,73 तथा 97 को भाग देने पर प्रत्येक दशा में समान शेष रहे है ? 24✅ 23 21 6

15. 33333 + 1 और 33334 + 1 का महत्तम समापवर्तक कितना है ? 2✅ 1 33333 + 1 20

16. दो संख्याओ का गुणनफल 2160 है और उनका महत्तम समापवर्तक(HCF) 12 है | तदनुसार , इस प्रकार के जोड़ो की सम्भावित संख्या कितनी है ? 1 2✅ 3 4

17. 1500 से कम वह बड़ी से बड़ी संख्या , जो 16 तथा 18 दोनों से विभाजित होती है ? 1440✅ 1404 1386 1368

18. 23 x 72 तथा 25 x 31 महत्तम समापवर्तक(HCF) क्या है ? 2331 237231 23 3172

19. दो संख्याओ का ल.स. 225 है तथा उनका म.स. 5 है यदि एक संख्या 25 हो , तो दूसरी संख्या होगी ? 5 25 45✅ 225

20. दो संख्याओ 12906 और 14818 का म.स. 478 है उनका ल.स. (LCM) है 400086✅ 200043 600129 800172

21. यदि दो पूर्ण समंको का अनुपात x:y हो और z उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) हो , तो इन दो संख्याओ का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) क्या होगा ? yz xz/y xy/z xyz✅

22. दो संख्याओ का गुणनफल 4107 है यदि उनका म.स. 37 हो , तो उनमे बड़ी संख्या होगी 185 111✅ 107 101

23. भिन्न 3/4 , 9/10 और 15/16 के व्युत्कर्मो का महत्तम समापवर्त्य (HCF) कितना है ? 3/15 3/80 1/15 2/45✅

24. दो संख्याओ के महत्तम समापवर्त्य (HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) क्रमशः 12 और 240 है | यदि एक संख्या 24 है , तो दूसरी संख्या क्या है ? 144 228 264 120✅

25. 28 और 42 के ल.स. (LCM) और म.स. (HCF) किस अनुपात में है ? 6:1✅ 2:3 3:2 7:2

26. तीन संख्याएँ 2:3:4 के अनुपात में है तथा उनका म.स. (HCF) 12 है उनका ल.स. (LCM) होगा ? 144✅ 192 96 72

27. दो संख्याएँ 3:4 के अनुपात में है उनके म.स. (HCF) तथा ल.स. (LCM) का गुणनफल 2028 है | संख्याओ का योगफल होगा ? 68 72 86 91✅

28. दो संख्याएँ 5:6 के अनुपात में है | यदि उनका ल.स. (LCM) 120 हो , तो उनका म.स. (HCF) होगा ? 12 10 8 4✅

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