विभाजकता के नियम / सूत्र ( Rules/Formulas of Divisibility )

 विभाजकता के नियम / सूत्र ( Rules/Formulas of Divisibility )


विभाजकता के नियम (vibhajakta ke niyam) :-

वे नियम जिनके आधार पर बिना भाग दिए यह ज्ञात किया जाता है कि संख्या में एक निश्चित संख्या का पूर्णत: भाग जाता है या नही , तो ऐसे नियम विभाजकता नियम कहलाते है |


विभाजकता के सूत्र (vibhajakta ke sutra) :-

1. भाज्य = (भाजक x भागफल) + शेषफल
2. शेषफल = भाज्य - ( भाजक x भागफल )
3. भाजक =
भाज्य - शेषफल / भागफल
4. भागफल =
भाज्य - शेषफल / भाजक

संख्या 1 से 20 तक के विभाजकता ( विभाज्यता ) के नियम :-

1 से विभाजकता का नियम :-

सभी पूर्णांक 1 से पूर्णत: भाजित होते है


2 से विभाजकता का नियम :-

यदि किसी संख्या का इकाई अंक सम हो या 0,2,4,6,8 हो तो वह संख्या 2 से पूर्णत: भाजित होगी |

जैसे :- 248 ( इकाई अंक 8 है )
550 ( इकाई अंक 0 है )
346 ( इकाई अंक 6 है )

3 से विभाजकता का नियम :-

यदि किसी संख्या के अंको का योग 3 से पूर्णत: भाजित है तो वह संख्या भी 3 से पूर्णत: भाजित होगी


जैसे :- 144
अंको का योग = 1+4+4 = 9 जो 3 से पूर्णत: विभाज्य है अत: संख्या 144 भी 3 से पूर्णत: विभाज्य है


4 से विभाजकता का नियम :-

यदि किसी संख्या के अंतिम 2 अंक 4 से पूर्णत: भाजित है तो वह संख्या भी 4 से पूर्णत: भाजित होगी

जैसे :- 420 में अंतिम दो अंक 20 , 4 से पूर्णत: भाजित है अत: संख्या 420 भी 4 से पूर्णत: भाजित होगी

5 से विभाजकता का नियम :-

यदि किसी संख्या का इकाई अंक 0 या 5 हो तो वह संख्या 5 से पूर्णत: भाजित होगी |

जैसे :- 550 , 525 आदि

6 से विभाजकता का नियम :-

यदि कोई संख्या 2 तथा 3 दोनों से पूर्णत: भाजित है तो वह संख्या 6 से पूर्णत: भाजित होगी |

जैसे :- 954 संख्या 2 तथा 3 दोनों से पूर्णत: भाजित है अत: यह 6 से भी पूर्णत: भाजित होगी |

7 से विभाजकता का नियम :-

7 से भाजकता नियम के लिए निम्न चरण है -

चरण - 1 :- सर्वप्रथम पीछे से तीन - तीन अंको के युग्म बनाए

चरण - 2 :- विषम स्थानों पर स्थित युग्मों के अंको को जोड़े

चरण - 3 :- सम स्थानों पर स्थित युग्मों के अंको को जोड़े

चरण - 4 :- प्राप्त संख्याओ का अंतर ज्ञात करें

चरण - 5 :- अब यदि प्राप्त संख्या 7 से पूर्णत: भाजित है तो दी गयी संख्या भी 7 से पूर्णत: भाजित होगी

उदाहरण के तौर पर :-
65432577
विषम स्थानों पर स्थित अंको का योग -
577 +65 = 642
सम स्थानों पर स्थित अंको का योग = 432 + 0 = 432
दोनों का अंतर = 642 - 432 = 210
यहाँ 210 ÷ 7 = 30 पूर्णत: भाजित है
तब संख्या 6 5 4 3 2 5 7 7 भी 7 से पूर्णत: भाजित होगी

8 से विभाजकता का नियम :-

यदि किसी संख्या के अंतिम तीन अंक 8 से पूर्णत: भाजित हो तो वह संख्या 8 से पूर्णत: भाजित होगी |

जैसे :- 43206824
यहाँ संख्या के अंतिम तीन अंक 824 , 8 से पूर्णत: भाजित है अत: संख्या 43206824 भी 8 से पूर्णत: भाजित होगी

9 से विभाजकता का नियम :-

यदि किसी संख्या के अंको का योग 9 से पूर्णत: भाजित हो तो वह संख्या 9 से पूर्णत: भाजित होगी |

जैसे :- 45721836
अंको का योग = 4+5+7+2+1+8+3+6 = 36 जो 9 से पूर्णत: विभाज्य है
अत: संख्या 45721836 भी 9 से पूर्णत: भाजित होगी

10 से विभाजकता का नियम :-

यदि किसी संख्या का इकाई अंक 0 हो तो वह संख्या 10 से पूर्णत: भाजित होगी |

जैसे :- 550 , 560 , 1000, 2000, 100000 आदि

11 से विभाजकता का नियम :-

यदि किसी संख्या के सम स्थानों पर स्थित अंको का योग तथा विषम स्थानों पर स्थित अंको के योग का अंतर 11 से पूर्णत: भाजित हो तो वह संख्या भी 11 से पूर्णत: भाजित होगी |

जैसे :- 19734
विषम स्थानों पर स्थित अंको का योग = 1+7+4 = 12
सम स्थानों पर स्थित अंको का योग = 9+3=12
अंतर = 12-12 = 0 जो 11 से पूर्णत: भाजित है
अत: संख्या 19734 भी 11 से पूर्णत: भाजित होगी

12 से विभाजकता का नियम :-

यदि कोई संख्या 4 तथा 3 दोनों से पूर्णत: भाजित हो तो वह संख्या भी 12 से पूर्णत: भाजित होगी

जैसे :- 612 , 540 , 1632 आदि

13 से विभाजकता का नियम :-

13 से भाजकता नियम के लिए निम्न चरण है -

चरण - 1 :- सर्वप्रथम दी गयी संख्या के इकाई अंक को 4 से गुणा कीजिए

चरण - 2 :- प्राप्त संख्या को इकाई अंक के आलावा शेष संख्या में जोड़ दीजिए

चरण - 3 :- यह कार्य तब तक करते है जब तक कि अंत में दो अंको की संख्या प्राप्त न हो जाए

चरण - 4 :- अब अंत: में प्राप्त यह दो अंको की संख्या यदि 13 से पूर्णत: विभाजित है तो दी गयी संख्या भी 13 से पूर्णत: विभाजित होगी

जैसे - 156 = 15+6*4 = 39
यहाँ 39, 13 से विभाज्य है अत: दी गयी संख्या 156 भी 13 से विभाज्य होगी

14 से विभाजकता का नियम :-

यदि कोई संख्या 2 तथा 7 दोनों से पूर्णत: भाजित हो तो वह संख्या भी 14 से पूर्णत: भाजित होगी
जैसे :- 350 , 280 , 70


15 से विभाजकता का नियम :-

यदि कोई संख्या 3 तथा 5 दोनों से पूर्णत: भाजित हो तो वह संख्या भी 15 से पूर्णत: भाजित होगी
जैसे :- 540 , 14520


16 से विभाजकता का नियम :-

यदि किसी संख्या के अंतिम 4 अंक 16 से पूर्णत: भाजित है तो वह संख्या भी 16 से पूर्णत: भाजित होगी

जैसे :- 341920 में 1920 , 16 से पूर्णत: विभाज्य है अत: 341920 भी 16 से विभाज्य है

17 से विभाजकता का नियम :-

यदि दी गयी संख्या के इकाई अंक को 5 से गुणा करके प्राप्त संख्या को शेष बची संख्या में से तब तक घटाते जाते है जब तक अंत में बची संख्या 17 से भाज्य ना हो जाए यदि इस प्रकार से प्राप्त संख्या 17 से भाजित ना हो तो वह संख्या भी 17 से भाज्य नही होगी |

जैसे :- संख्या - 16779 में इकाई का अंक 9 है और इसका 5 गुना 45 होता है
1677-45=1632
163-10 = 153
इस प्रकार संख्या 153 में 17 का पूरा भाग जाता है.तो संख्या 16779 भी 17 से विभाजित होगी.

18 से विभाजकता का नियम :-

यदि कोई संख्या 2 तथा 9 दोनों से पूर्णत: भाजित है तो वह संख्या भी 18 से पूर्णत: भाजित होगी

जैसे :- 144 , 270 आदि

19 से विभाजकता का नियम :-

यदि दी गयी संख्या के इकाई अंक को 2 से गुणा करके प्राप्त संख्या को शेष बची संख्या में से तब तक घटाते जाते है जब तक अंत में बची संख्या 19 से भाज्य ना हो जाए यदि इस प्रकार से प्राप्त संख्या 19 से भाजित ना हो तो वह संख्या भी 19 से भाज्य नही होगी |

जैसे :- 361 = 36+1x2 = 38
यहाँ 38 , 19 से विभाज्य है इसलिए 361 भी 19 से विभाज्य होगी

20 से विभाजकता का नियम :-

यदि कोई संख्या 4 तथा 5 दोनों से पूर्णत: भाजित है तो वह संख्या भी 20 से पूर्णत: भाजित होगी

जैसे :- 540 , 720 , 360 आदि

अन्य परीक्षा उपयोगी महत्वपूर्ण विभाजकता के नियम :-

सहअभाज्य गुणनखंड :-

वे गुणनखंड जिनका महत्तम समाप्रवतक ( HCF) 1 प्राप्त हो वे गुणनखंड सहअभाज्य गुणनखंड कहलाते है |

सहअभाज्य गुणनखंड पर आधारित महत्वपूर्ण विभाजकता नियम :-

24 से विभाजकता का नियम :-

यदि कोई संख्या 3 तथा 8 दोनों से पूर्णत: विभाज्य है तो वह संख्या भी 24 से पूर्णत: विभाज्य होगी |


36 से विभाजकता का नियम :-

यदि कोई संख्या 9 तथा 4 दोनों से पूर्णत: विभाज्य है तो वह संख्या भी 36 से पूर्णत: विभाज्य होगी |


44 से विभाजकता का नियम :-

यदि कोई संख्या 11 तथा 4 दोनों से पूर्णत: विभाज्य है तो वह संख्या भी 44 से पूर्णत: विभाज्य होगी |


45 से विभाजकता का नियम :-

यदि कोई संख्या 9 तथा 5 दोनों से पूर्णत: विभाज्य है तो वह संख्या भी 45 से पूर्णत: विभाज्य होगी |


72 से विभाजकता का नियम :-

यदि कोई संख्या 9 तथा 8 दोनों से पूर्णत: विभाज्य है तो वह संख्या भी 72 से पूर्णत: विभाज्य होगी |


88 से विभाजकता का नियम :-

यदि कोई संख्या 11 तथा 8 दोनों से पूर्णत: विभाज्य है तो वह संख्या भी 88 से पूर्णत: विभाज्य होगी |

विभाज्यता पर आधारित प्रश्न :-

Q. किसी संख्या को 899 से भाग देने पर शेष 63 प्राप्त होता है यदि उस संख्या को 29 से भाग दे तो शेष प्राप्त होगा
10
5 ✅
4
2

Q. निम्नलिखित संख्याओ में से कौनसी 18 से विभाजित नही है ?
54036
50436
34056
65043✅

Q. चार अंको की वह सबसे बड़ी संख्या कौन सी है जो 88 से पूरी तरह विभाज्य हो जाए
9988
9944✅
8888
9768

Q. दिये गए मान में कौन 15 से पूर्णत: विभाज्य है ?
2365
1375
4365✅
2275

Q. यदि A381 , संख्या 11 से विभाज्य है तो A के स्थान पर अंक है
0
1
5
7✅

Q. यदि 738A6A , 11 से भाज्य है , तो A का मान है
6
3
9✅
1

Q. निम्न में से कौन सी संख्या 25 द्वारा विभाज्य है ?
303310
373355
303375✅
22040

Q. निम्नलिखित संख्याओ में कौनसी एक 99 से ठीक-ठीक विभाजित होती है ?
42767
31781
21187
53658✅

Q. M के किस मान के लिए 34M , भाजक 12 से पूर्णत: विभाज्य है ?
2
0
8✅
6

Q. यदि संख्या 34N , संख्या 11 से विभाज्य होती है तो N का मान क्या होगा ?
1✅
3
4
9

Q. जब 2143 को 38 से विभाजित किया जाए , तो भागफल का मान क्या होगा ?
56✅
55
57
54

Q. जब 2468 को 37 से विभाजित किया जाए , तो शेषफल का मान क्या होगा ?
26✅
36
18
14

Q. यदि संख्या 46N , भाजक 18 से पुर्णतः विभाजित होती है तो N का मान क्या होगा ?
2
4
7
8✅

Q. यदि 34P8 , संख्या 9 से विभाज्य होती है तो P का मान क्या होगा ?
2
3✅
4
5

Q. यदि 65723x , संख्या 8 से विभाज्य होती है तो x का मान क्या होगा ?
2✅
0
4
6

Q. यदि 657423547 x 46 , संख्या 11 से विभाज्य होती है तो x का मान क्या होगा ?
7
9✅
8
6

Q. यदि छ: अंकीय संख्या 4x 4y 96 संख्या 88 से पूर्णत: विभाज्य हो तो ( x + 2y ) का मान क्या होगा
13
10
12✅
11

Q. यदि सात अंकीय संख्या 56x34y4 संख्या 72 से पूर्णत: विभाज्य है तो ( x + y) का न्यूनतम मान क्या है ?
8
12
5✅
14

Q. यदि 9 अंको की संख्या 985x3678y संख्या 72 से विभाज्य है तो (4x - 3y) का मान होगा ?
5
4✅
6
3

Q. यदि 8-अंको की संख्या 2074x4y2 संख्या 88 से विभाज्य है तो ( 4x + 3y) का मान क्या होगा ?
49
36
42
45✅

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