गणितीय आगमन का सिद्दांत (Principal of Mathematical Induction) || Ganitiye Aagman ka siddhant || PDF DOWNLOAD

गणितीय आगमन सिद्दांत एक ऐसा साधन है जिसका प्रयोग विविध प्रकार के गणितीय कथनों को सिद्द करने के लिए किया जा सकता है | धन पूर्णांको से सम्बंधित इस प्रकार के प्रत्येक कथन को P(n)मान लेते है, जिसकी सत्यता n=1 के लिए जांची जाती है | इसके बाद किसी धन पूर्णांक K के लिए P(k) की सत्यता को मानकर P(k+1) की सत्यता सिद्द करते है |

⁎ आगमित समुच्चय (Induction Set) :-

एक समुच्चय S आगमित समुच्चय कहलाता है यदि 1 ∈ S और (n+1) ∈ S जबकि n ∈ S चूँकि N, R का सबसे छोटा उप - समुच्चय है जो की आगमित समुच्चय है , इससे यह ज्ञात होता है कि R का कोई उप - समुच्चय जो आगमित समुच्चय हो , N को अवश्य रखेगा |

⁎ गणितीय आगमन के सिद्दांत का कथन : -

इस सिद्दांत के अनुसार कोई कथन P(n) , n के सभी धनात्मक पूर्णांको अर्थात पूर्णांक मानों के लिए सत्य है , यदि --
(1) कथन n=1 के लिए सत्य हो, अर्थात P(1) सत्य है तथा
(2)कथन n=k के लिए सत्य हो , तो यह n=k+1 के लिए भी सत्य होगा , अर्थात P(k) सत्य है , तो P(k+1)भी सत्य होगा |
इस सिद्दांत के कथन से ही स्पष्ट होता है की यह विशिष्ट कथन से व्यापक कथन की ओर अग्रसर होने की विधि है | अत: हम यह कह सकते है की यह प्राकृत संख्याओ से सम्बंधित व्यापक परिणामों या प्रमयों को स्थापित करने का एक विशेष प्रक्रम है |

⁎ गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा कथन की सत्यता जाचनें के पद (Steps of Test the Truth Statements by Principal of Mathematical Induction) :-

पद (1) -- दिये गये पद में P(n) का अर्थ समझिए |
पद (2) -- n=1 रखकर P(1) की सत्यता की जाँच कीजिये और सिद्द कीजिये कि - P(1) कथन सत्य है |
पद (3) -- n=k की स्थिति में कथन को सत्य मान लिया जाता है अर्थात P(k) कथन सत्य है |
पद (4) -- पद (3) की सत्यता के आधार पर सिद्द कीजिये की कथन P(k+1) भी सत्य है |
पद (5) -- पद (2) तथा पद (4) की सत्यता के आधार पर निष्कर्ष निकलता है कि कथन P(n) प्रत्येक प्राकृत संख्या के लिए सत्य है | इससे कथन की व्यापक सत्यता सिद्द होती है |

⁎ वस्तुनिष्ट प्रश्नों को हल करने में प्रयोग (Application in Solving Objective Questions) :-

गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग विवरणात्मक प्रश्नों को हल करने में किया जाता है |
वस्तुनिष्ठ प्रश्नों को इस सिद्दांत से हल किया जा सकता है परन्तु बहुत समय लगता है |
अत: वस्तुनिष्ठ प्रश्नों में से अधिकतर को हम ऋणात्मक परिक्षण (negative test) से हल करते है |
अर्थात प्रश्नों में दिये हुए विकल्पों की सहायता से ही सही विकल्प का पता लगाया जा सकता है |
यदि दिया हुआ कथन P(n) हो तो P(n) में n= 1,2,..... रखते हुए ज्ञात करते है कि कौनसा विकल्प n के सभी प्राकृत मानो के लिए सत्य है |

गणितीय आगमन सिद्धांत पर आधारित प्रश्न एवं उनके हल (Questions based on Principal of Mathematical Induction) :--

प्रश्न (1) :- सभी n ≥ 1 के लिए सिद्द कीजिये --

1² + 2² + 3² + 4² +.....+n² =

n(n+1)(2n+1) / 6

उत्तर :- माना दिया हुआ कथन P(n) है अर्थात

P(n) : 1² + 2² + 3² + 4² +.....+n² =

n(n+1)(2n+1) / 6

n=1 के लिए
L.H.S. = P(1) : 1 ,

R.H.S. =

1(1+1)(2×1+1) / 6

= 1
L.H.S. = R.H.S.

जो कि 1 के लिए सत्य है |
किसी धन पूर्णांक k के लिए कल्पना करते है कि P(k) सत्य है अर्थात

P(k): 1² + 2² + 3² + 4² +.....+k² =

k(k+1)(2k+1) / 6

......(1)
अब हम समीकरण (1) को P(k+1) के लिए सत्य सिद्द करेंगे

1² + 2² + 3² + 4² +.....+k² + (k+1)² =

k(k+1)(2k+1) / 6

+ (k+1)²

=

k(k+1)(2k+1)+ 6(k+1)² / 6

=

(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)] / 6

=

(k+1)(2k² + 7k + 6) / 6

=

(k+1)(k+2)(k+3) / 6

=

(k+1)(k+1+1)[2(k+1)+1] / 6

इस प्रकार P(k+1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है |
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओ N के लिए कथन P(n) सत्य है |

प्रश्न (2) :- सभी धन पूर्णांक n के लिए सिद्द कीजिये कि 2ⁿ > n

उत्तर :- मान लीजिये कि P(n) : 2ⁿ > n
n=1 के लिए 2¹ > 1, अत: P(1) सत्य है |
हम कल्पना करते है कि किसी धन पूर्णांक k के लिए P(k) सत्य है
अर्थात P(k) : 2^k > k
अब हम सिद्द करेंगे कि P(k+1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है |
समीकरण (1) के दोनों पक्षों में 2 का गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है
2 × 2^k> 2k
अर्थात 2^(k+1) > 2k = k+k > k+1
इस प्रकार P(k+1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है |
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत से प्रत्येक धन पूर्णांक n के लिए कथन P(n) सत्य है |

प्रश्न (3) :- सभी n ∈ N के लिए गणितीय आगमन सिद्दांत के प्रयोग द्वारा सिद्द कीजिये कि --

1³ + 2³ + 3³ + ....+ n³ = [

n(n+1) / 2

] 2

उत्तर:- माना कि
P(n) : 1³ + 2³ + 3³ + ....+ n³ = [

n(n+1) / 2

] 2

सिद्द करना है - P(1) सत्य है |
n=1 के लिए

R.H.S. = [

n(n+1) / 2

] 2

= [

1(1+1) / 2

] 2 = 1² = 1³ = L.H.S.

अर्थात P(1) सत्य है |
माना कि P(k) भी सत्य है |

1³ + 2³ + 3³ + ....+ k³ = [

k(k+1) / 2

] 2 ........(1)

सिद्द करना है - P(k+1) सत्य है |

1³ + 2³ + 3³ + ....+ k³ + (k+1)³ = [

(k+1)(k+2) / 2

] 2

चूँकि L.H.S. = 1³ + 2³ + 3³ + ....+ k³ + (k+1)³ =

= [

k(k+1) / 2

] 2 + (k+1)³ [समीकरण (1) से मान रखने पर ]

=

k²(k+1)² / 4

+ (k+1)³

= [

k²(k+1)² +4(k+1)³ / 4

]

= [

(k+1)² [k² + 4(k+1) ] / 4

]

= [

(k+1)² [k² + 4k+4] / 4

]

= [

(k+1)² (k+2)² / 4

] >

= [

(k+1) (k+2) / 2

] 2 = R.H.S.

अत: L.H.S. = R.H.S.
अत: P(k+1) सत्य है |
इस प्रकार P(k+1) सत्य है जब कभी P(k) सत्य है |
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओ N के लिए कथन P(n) सत्य है |

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