प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन की परिभाषा , सूत्र , उपयोग तथा महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी

इस लेख में हमारे द्वारा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन की परिभाषा , सूत्र , उपयोग तथा महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी दिए गए है जो कक्षा 10 तथा 11 एवं 12 के लिए अतिमहत्वपूर्ण है | कक्षा 11,12 NCERT के लिए तो यह लेख बहुत ही फायदेमंद है | आप हमे नीचे comment करके बता सकते है कि आपको यह लेख कैसा लगा |

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प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन ( Inverse Trigonometric Functions ) :-

किसी त्रिकोणमितीय फलन f का प्रतिलोम f^-1 उस फलन का प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कहलाता है |

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के उपयोग :-

1. विज्ञान तथा अभियांत्रिकी में
2. कलन ( calculus ) में
3. अनेक समकलनों को परिभाषित करने में

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों ( मुख्य शाखा ) के प्रांत तथा परिसर निम्न सारणी में वर्षित है -

फलन	प्रान्त	परिसर ( मुख्य शाखा )
y = Sin^-1x	[ -1,1 ]	[ -𝜋/2 ,𝜋/2 ]
y = Cos^-1x	[ -1,1 ]	[ 0 , 𝜋 ]
y = Cosec^-1x	R - (-1,1)	[ -𝜋/2 , 𝜋/2 ] - {0}
y = Sec^-1x	R - (-1,1)	[0,𝜋] - {𝜋/2}
y = Tan^-1x	R	( -𝜋/2 , 𝜋/2 )
y = Cot^-1x	R	( 0 , 𝜋 )

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान ( Principal Value ) :-

किसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का वह मान , जो उसकी मुख्य शाखा में स्थित होता है , प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान कहलाता है |

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के सभी सूत्र तथा गुणधर्म ( Inverse Trigonometric function formulas ) :-

1. y = Sin^-1x
x = Siny

2. x = Siny
y = Sin^-1x

3. Sin(Sin^-1x) = x

4. Sin^-1(Sinx) = x

5. Sin^-1x = (Sinx)^-1 =

1 / Sinx

Note :- उपरोक्त सभी 5 सूत्र सभी त्रिकोणमितीय फलनों के लिए सत्य है |

6. Sin^-1 [

1 / x

] = Cosec^-1x

7. Cosec^-1 [

1 / x

] = Sin^-1x

8. Cos^-1 [

1 / x

] = Sec^-1x

9. Sec^-1 [

1 / x

] = Cos^-1x

10. Tan^-1 [

1 / x

] = Cot^-1x

11. Cot^-1 [

1 / x

] = Tan^-1x

12. Sin^-1(-x) = -Sin^-1x

13. Tan^-1(-x) = -Tan^-1x

14. Cosec^-1(-x) = -Cosec^-1x

15. Cos^-1(-x) = 𝜋 - Cos^-1x

16. Cot^-1(-x) = 𝜋 - Cot^-1x

17. Sec^-1(-x) = 𝜋 - Sec^-1x

18. Tan^-1x + Cot^-1x =

𝜋 / 2

19. Sin^-1x + Cos^-1x =

𝜋 / 2

20. Cosec^-1x + Sec^-1x =

𝜋 / 2

21. Sin^-1x + Sin^-1y = Sin^-1 [ x √1 - y² + y √ 1 - x² ]

22. Sin^-1x - Sin^-1y = Sin^-1 [ x √1 - y² - y √ 1 - x² ]

23. Cos^-1x + Cos^-1y = Cos^-1 [ xy - √ 1 - x² √1 - y² ]

24. Cos^-1x - Cos^-1y = Cos^-1 [ xy + √ 1 - x² √1 - y² ]

25. Tan^-1x + Tan^-1y = Tan^-1 [

x + y / 1 - xy

]
जहाँ xy < 1

26. Tan^-1x + Tan^-1y = 𝜋 + Tan^-1 [

x + y / 1 - xy

]
जहाँ xy > 1 , x > 0 , y > 0

27. Tan^-1x - Tan^-1y = Tan^-1 [

x - y / 1 + xy

]
जहाँ xy > -1

28. 2Sin^-1x = Sin^-1 [ 2x √1 - x² ]
जहाँ
-1 / √2
≤ x ≤
1 / √2

29. 2Cos^-1x = Sin^-1 [ 2x √1 - x² ]
जहाँ
1 / √2
≤ x ≤ 1

30. 2Tan^-1x = Tan^-1 [

2x / 1 - x²

]
जहाँ |x| < 1

31. 2Tan^-1x = Sin^-1 [

2x / 1 + x²

] = Cos^-1 [

1 - x² / 1 + x²

]
जहाँ 0 ≤ x ≤ 1

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन पर आधारित प्रश्नोतरी :-

1. Sin^-1 [
1 / √2
] का मुख्य मान ज्ञात करें ?

Ans. - माना Sin^-1 [

1 / √2

] = y

Siny =

1 / √2

चूँकि Sin^-1 की मुख्य शाखा का परिसर [

-𝜋 / 2

𝜋 / 2

]

तब Siny = Sin [

𝜋 / 4

] [ चूँकि Sin

𝜋 / 4

1 / √2

]

y = Sin^-1 [

1 / √2

] =

𝜋 / 4

2. सिद्ध कीजिए कि Tan^-1
1 / 2
+ Tan^-1
2 / 11
= Tan^-1
3 / 4

हम जानते है कि

Tan^-1x + Tan^-1y = Tan^-1 [

x + y / 1 - xy

]

L.H.S लेने पर

Tan^-1(1/2) + Tan^-1(2/11) = Tan^-1 [

1/2 + 2/11 / 1 - (1/2)(2/11)

]

= Tan^-1 [

15 / 20

]

= Tan^-1 [

3 / 4

] = R.H.S

3. Cot^-1 [
1 / √x² - 1
] , x > 1 को सरलतम रूप में लिखिए ?

माना कि x = Secθ ..........(1)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
x² = Sec²θ
अब दोनों पक्षों में से 1 घटाकर दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर
√x² - 1 = √Sec²θ - 1 = Tanθ
इसलिए

Cot^-1 [

1 / √x² - 1

] = Cot^-1 [

1 / Tanθ

]

= Cot^-1( Cotθ )

= θ

समीकरण (1) से

x = Secθ

θ = Sec^-1x

4. Cos ( Sec^-1x + Cosec^-1x ) , |x| ≥ 1 का मान ज्ञात कीजिए ?

हम जानते है कि

Sec^-1x + Cosec^-1x =

𝜋 / 2

तब Cos(

𝜋 / 2

) = 0

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