त्रिभुज की माध्यिका , शीर्षलंब , कोण समद्विभाजक तथा लंब समद्विभाजक का अध्धयन

त्रिभुज की माध्यिका , शीर्षलंब , कोण समद्विभाजक तथा लंब समद्विभाजक का अध्धयन

✹ त्रिभुज की माध्यिका :-

किसी त्रिभुज के एक शीर्ष से उसके सामने वाली भुजा को दो समान भागों में विभाजित करने वाली रेखा त्रिभुज की माध्यिका कहलाती है ।

  त्रिभुज की माध्यिका
( आकृति 1 में )

त्रिभुज की माध्यिका के गुण तथा नियम :-

 माध्यिका के गुण तथा नियम
( आकृति 2 में )

1. यह त्रिभुज के किसी एक शीर्ष से होकर गुजरती है ।
2. यह सामने वाली भुजा को दो समान भागों में बांटती है ।
अर्थात् BD = DC ( आकृति 1 के अनुसार )
3. यह सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु पर मिलती है ( आकृति 1 में बिंदु D, भुजा BC का मध्य बिंदु है )
4. यह सामने वाली भुजा पर 90 डिग्री ( समकोण ) नहीं बनाती है ।
5. त्रिभुज की एक माध्यिका त्रिभुज को दो समान भागो या क्षेत्रफलो में विभक्त करती हैं ।
ABD का क्षैत्रफल = ADC का क्षैत्रफल ( आकृति 1 के अनुसार )
6. आकृति 1 के अनुसार यदि किसी त्रिभुज ABC में AD माध्यिका है तो

AB / AC
=
BD / DC
होगा ।

7. आकृति 2 के अनुसार त्रिभुज के तीनो माध्यिकाएं त्रिभुज को 6 सामान भागो या क्षेत्रफल में विभक्त करती है ।
8. यदि त्रिभुज ABC में AD , BE तथा CF माध्यिकाएं हैं तब

AD + BE + CF >
AB + BC + CA / 2
( आकृति 2 के अनुसार )

त्रिभुज की माध्यिका की लंबाई : -

आकृति 1 के अनुसार यदि किसी त्रिभुज ABC में AD एक माध्यिका है तब

त्रिभुज की माध्यिका AD की लंबाई :
AB2 + AC2 = 2 ( AD2 +
BC2 / 4
) ( आकृति 2 के अनुसार )

✹ त्रिभुज के शीर्षलंब ( अभिलंब ) : -

किसी त्रिभुज के एक शीर्ष से उसके सामने वाली भुजा पर डाला गया लंब (90°) , उस त्रिभुज का शीर्षलंब कहलाता है ।

 शीर्षलंब ( अभिलंब )
( आकृति 3 में )

त्रिभुज के शीर्षलंब ( अभिलंब ) के गुण व नियम : -

शीर्षलंब ( अभिलंब ) के गुण व नियम
( आकृति 4 में )

1. यह त्रिभुज के किसी एक शीर्ष से होकर गुजरती है ।
2. यह सामने वाली भुजा को दो समान भागों में नहीं बांटती है ।
3. यह सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु पर नहीं मिलती है ।
4. यह सामने वाली भुजा पर 90 डिग्री (समकोण) बनाती है परंतु मध्य बिंदु पर नहीं ।
आकृति 3 के अनुसार - ∠BDA = ∠CDA = 90°
5. त्रिभुज का एक शीर्षलंब ( अभिलंब ) त्रिभुज को दो समान भागों या क्षेत्रफलो में विभक्त नहीं करता है ।
6. त्रिभुज के तीनों शीर्षलंब त्रिभुज को 6 सामान भागों में नहीं बांटते हैं ।
7. आकृति 4 के अनुसार यदि त्रिभुज ABC में AD , BE तथा CF तीनों त्रिभुज के शीर्षलंब ( अभिलंब ) है तो
AD + BE + CF < AB + BC + CA

✹ कोण समद्विभाजक :-

वह रेखा जो किसी त्रिभुज के एक शीर्ष से होते हुए उस शीर्ष के कोण को दो बराबर भागों में बांटे उसे कोण समद्विभाजक रेखा कहते हैं ।

 कोण समद्विभाजक
( आकृति 5 में )

कोण समद्विभाजक के गुण व नियम : -

1. यह रेखा त्रिभुज के किसी एक शीर्ष से होकर गुजरती है ।
2. यह जिस शीर्ष से होकर गुजरती है उस शीर्ष के कोण को दो बराबर कोणों में बांटती है ।
3. यह सामने वाली भुजा को दो बराबर भागों में नहीं बांटती है ।
4. यह सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु पर नहीं मिलती है ।
5. यह सामने वाले भुजा पर 90 डिग्री ( समकोण ) नहीं बनाती है ।
6. त्रिभुज की एक कोण समद्विभाजक रेखा त्रिभुज को दो समान भागों में नहीं बांटती है ।
7. त्रिभुज के तीनों कोण समद्विभाजक रेखाएं त्रिभुज को 6 समान भागों में नहीं बांटती है ।
8. आकृति 5 के अनुसार त्रिभुज ABC में AM रेखा , कोण A की समद्विभाजक है तब

AB / AC
=
BM / MC

कोण समद्विभाजक की लंबाई :

यदि त्रिभुज ABC में AM रेखा , कोण A की समद्विभाजक है तब ( आकृति 5 के अनुसार )

कोण समद्विभाजक रेखा AM की लंबाई ( AM ) =
2 x AB x AC / AB + AC
Cos
θ / 2

✹ समकोण या लंब समद्विभाजक :

वह रेखा जो त्रिभुज की किसी रेखा पर 90° का कोण बनाने के साथ उस रेखा को दो बराबर भागों में बांटे ।

समकोण या लंब समद्विभाजक
( आकृति 6 में )

लंब समद्विभाजक के गुण व नियम : -

1. यह रेखा त्रिभुज के किसी भी शीर्ष से होकर नहीं गुजरती है ।
2. यह सामने वाली भुजा को दो समान भागों में बांटती है ।
AD = BD ( आकृति 6 के अनुसार )
3. यह सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु पर मिलती है ।
4. यह सामने वाली भुजा पर 90 डिग्री ( समकोण ) बनाती है ।
5. त्रिभुज की एक लंब समद्विभाजक रेखा त्रिभुज को दो भागों में नहीं बांटती है ।
6. त्रिभुज की तीनो लंब समद्विभाजक रेखाएं त्रिभुज को 6 समान भागों या क्षेत्रफलो में नहीं बांटती है ।

✹ त्रिभुज की माध्यिका , शीर्षलंब , कोण समद्विभाजक तथा लंब समद्विभाजक में अंतर : -

 त्रिभुज की माध्यिका , शीर्षलंब , कोण समद्विभाजक तथा लंब समद्विभाजक में अंतर
( आकृति 7 में )

आकृति 7 के त्रिभुज ABC में -
बिंदु D → भुजा BC का मध्य बिंदु
रेखा AP → शीर्ष लम्ब
रेखा AQ → कोण समद्विभाजक
रेखा AD → माध्यिका
रेखा MN → लम्ब समद्विभाजक

शीर्षलंब लंब समद्विभाजक कोण समद्विभाजक माध्यिका
1. यह रेखा त्रिभुज के किसी एक शीर्ष से होकर गुजरती है । यह रेखा त्रिभुज के किसी एक शीर्ष से होकर नही गुजरती है । यह रेखा त्रिभुज के किसी एक शीर्ष से होकर गुजरती है । यह रेखा त्रिभुज के किसी एक शीर्ष से होकर गुजरती है ।
2. यह रेखा सामने वाली भुजा को दो बराबर भागों में नही बांटती है । यह रेखा सामने वाली भुजा को दो बराबर भागों में बांटती है । यह रेखा सामने वाली भुजा को दो बराबर भागों में नही बांटती है । यह रेखा सामने वाली भुजा को दो बराबर भागों में बांटती है ।
3. यह रेखा सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु पर नही मिलती है । यह रेखा सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु पर मिलती है । यह रेखा सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु पर नही मिलती है । यह रेखा सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु पर मिलती है ।
4. यह रेखा सामने वाली भुजा पर 90 डिग्री ( समकोण ) बनाती है । यह रेखा सामने वाली भुजा पर 90 डिग्री ( समकोण ) बनाती है । यह रेखा सामने वाली भुजा पर 90 डिग्री ( समकोण ) नही बनाती है । यह रेखा सामने वाली भुजा पर 90 डिग्री ( समकोण ) नही बनाती है ।
5. यह रेखा जिस शीर्ष से होकर गुजरती है उस शीर्ष के कोण को दो समान कोणों में नही बांटती है । यह रेखा शीर्ष से होकर नही गुजरती है यह रेखा जिस शीर्ष से होकर गुजरती है उस शीर्ष के कोण को दो समान कोणों में बांटती है । यह रेखा जिस शीर्ष से होकर गुजरती है उस शीर्ष के कोण को दो समान कोणों में नही बांटती है ।
6. यह रेखा त्रिभुज को दो समान भागो या क्षेत्रफलो में विभक्त नही करती है । यह रेखा त्रिभुज को दो समान भागो या क्षेत्रफलो में विभक्त नही करती है । यह रेखा त्रिभुज को दो समान भागो या क्षेत्रफलो में विभक्त नही करती है । यह रेखा त्रिभुज को दो समान भागो या क्षेत्रफलो में विभक्त करती है ।

इन्हें भी पढ़े :-

1. त्रिभुज के प्रकार
2. त्रिभुज व त्रिभुज के महत्वपूर्ण गुण एवं नियम
3. चतुर्भुज के प्रकार ,उनके गुण एवं सूत्रों का अध्धयन
4. Number System Basics Formulas, Questions, Tricks

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