सरल रेखा की परिभाषा , गुण , विशेषताएँ , सूत्र तथा प्रश्नोतरी

इस लेख में हमारे द्वारा सरल रेखा की परिभाषा , गुण , विशेषताएँ , सूत्र तथा प्रश्नोतरी दिए गए है जो कक्षा 7 से 10 तथा 11 एवं 12 के लिए अतिमहत्वपूर्ण है | कक्षा 11 NCERT के लिए तो यह लेख बहुत ही फायदेमंद है | आप हमे नीचे comment करके बता सकते है कि आपको यह लेख कैसा लगा |

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सरल रेखा क्या है / सरल रेखा की परिभाषा :-

जब दो निश्चित बिन्दुओ को एक सीध में मिलाया जाए अर्थात् वह रेखा जो एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक बिना बदले जाती है , सरल रेखा कहते है |

सरल रेखा की विशेषताएं या गुण :-

1. सरल रेखा की केवल लम्बाई होती है
2. इसमें चौड़ाई और मोटाई का गुण नही पाया जाता है
3. सरल रेखा पर असंख्य बिंदु स्थित हो सकते है
4. किसी सरल रेखा के निर्माण के लिए न्यूनतम दो बिन्दुओ की आवश्यकता होती है
5. दो बिन्दुओ से एक और केवल एक रेखा गुजरती है
6. सरल रेखा बिन्दुओ का सरलतम बिन्दुपथ होता है

इस लेख में हम निर्देशांक ज्यामिति के अध्धयन को सरलतम ज्यामितीय आकृति - सरल रेखा के गुणधर्मों के अध्धयन हेतु सतत करते रहेंगे |
सरल रेखा के बीजगणितीय निरूपण के लिए ढाल ( Slope ) की संकल्पना अत्यंत आवश्यक है |

रेखा की ढाल ( Slope of a line ) :-

ढाल की परिभाषा :-

यदि θ किसी रेखा l का झुकाव है तो tanθ को रेखा l की ढाल को m से व्यक्त करते है | अर्थात् m = tanθ जहाँ θ ≠ 90^०

रेखा की ढाल , जब उस पर दो बिन्दु दिए गए हों :-

माना कि एक उर्ध्वेत्तर रेखा l , जिसका झुकाव θ है , पर दो बिंदु P( x₁ , y₁ ) और Q ( x₂ , y₂ ) है
तब रेखा l की ढाल -
m = tanθ ----------(1)

m =

y₂ - y₁ / x₂ - x₁

---------(2)

समीकरण (1) व (2) से

m = tanθ =

y₂ - y₁ / x₂ - x₁

दो रेखाओ के समांतर होने पर उनकी प्रवणताएँ ( ढाल ) :-

माना l₁ तथा l₂ दो समांतर रेखाएं है तब उनके झुकाव अर्थात् प्रवणताएँ ( ढाल ) समान होगें

अर्थात् m₁ = m₂
जहाँ m₁ - रेखा l₁ की ढाल
m₂ - रेखा l₂ की ढाल

अत: दो उर्ध्वेत्तर रेखाएं l₁ और l₂ समांतर होती है , यदि और केवल यदि उनके ढाल समान है

दो रेखाओं के परस्पर लम्ब होने का प्रतिबन्ध :-

यदि दो रेखाएँ l₁ और l₂ परस्पर लम्ब है तथा उनकी प्रवणताएं ( ढाल ) क्रमशः m₁ तथा m₂ है तब

m₂ =

-1 / m₁

या m₁ * m₂ = -1

अत: दो उर्ध्वेत्तर रेखाएं l₁ और l₂ परस्पर लम्ब होती है , यदि और केवल यदि उनकी ढाल परस्पर ऋणात्मक व्युत्कम है

दो रेखाओं के बीच का कोण :-

माना l₁ और l₂ दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ है तथा इनकी ढाल क्रमशः m₁ तथा m₂ है रेखाओ l₁ और l₂ के बीच संलग्न कोण θ और Φ है

इस प्रकार m₁ और m₂ ढाल वाली रेखाओं l₁ और l₂ के बीच का न्यूनकोण (θ) इस प्रकार है -

tanθ = |

m₂ - m₁ / 1 + m₁ * m₂

| जहाँ 1 + m₁ * m₂ ≠ 0

अधिक कोण ( Φ ) Φ = 180^० - θ के प्रयोग से प्राप्त किया जा सकता है

तीन बिन्दुओं की संरेखता :-

यदि xy - तल में A,B और C तीन बिंदु है तब के एक रेखा पर होंगे अर्थात् तीनों बिंदु संरेख होंगे यदिऔर केवल यदि
AB की ढाल = BC की ढाल

सरल रेखा का समीकरण [ बिंदु - ढाल रूप ( Point - Slope Form ) ] :-

नियत बिंदु (x₀ , y₀ ) से जाने वाली ढाल m की रेखा पर बिंदु (x,y) है यदि और केवल यदि इसके निर्देशांक निम्न समीकरण को संतुष्ट करते है -

m =

y - y₀ / x - x₀

या y - y₀ = m(x - x₀)

उपरोक्त समीकरण सरल रेखा का समीकरण कहलाता है |
अर्थात् सरल रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु कि सहायता से हम सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कर सकते है |

सरल रेखा का व्यापक समीकरण दो बिंदु रूप समीकरण :-

माना रेखा L दो बिंदुओ P₁(x₁,y₁) और P₂(x₂,y₂) से जाती है और L पर व्यापक बिंदु P(x,y) है |

तब दो बिंदुओ से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण -

y - y₁ =
y₂ - y₁ / x₂ - x₁
(x - x₁)

ढाल अंत: खंड रूप ( Slope - intercept form ) :-

स्थिति - I :-

ढाल m वाली रेखा y अक्ष से C अंत: खंड बनाती है ,
तब रेखा L का समीकरण - y = mx + c

स्थिति - II :-

ढाल m वाली रेखा x अक्ष से d अंत: खंड बनाती है ,
तब रेखा L का समीकरण - y = m(x - d)

अंत:खण्ड रूप ( Intercept form ) :-

x अक्ष और y - अक्ष से क्रमश: a और b अंत: खंड बनाने वाली रेखा का समीकरण -

x / a

y / b

= 1

लम्ब रूप ( Normal form ) :-

मूल बिंदु से लाम्बिक दूरी P और धन x-अक्ष तथा लम्ब के बीच का कोण W वाली रेखा का समीकरण -
xCosω + ySinω = P

सरल रेखा का व्यापक समीकरण :-

जब A और B के साथ शून्य नही है तो Ax +By + C = 0 के रूप का कोई समीकरण , रेखा का व्यापक रैखिक समीकरण कहलाता है |

Ax +By + C = 0 के विभिन्न रूप :-

इस समीकरण को रेखा के समीकरण के विभिन्न रूपों में रूपांतरित किया जा सकता है जो कि निम्न प्रकार है -

(A) ढाल अंत: खंड रूप :-

यदि B ≠ 0 तो Ax +By + C = 0 को निम्न रूप में लिखा जा सकता है -

y =

-A / B

x -

C / B

या y - mx + c

जहाँ ढाल m =

-A / B

y अंत: खंड =

-C / B

(B) अंत: खण्ड रूप :-

यदि C ≠ 0 तो Ax+By+C = 0 को निम्न रूप में लिखा जा सकता है -

x / -C/A

y / -C/B

= 1

x / a

y / b

= 1

यहाँ x अंत: खंड a =

-C / A

y अंत: खंड b =

-C / B

(C) लम्ब रूप :-

समीकरण Ax+By+C = 0 का लम्ब रूप
xCosω + ySinω = P

जहाँ Cosω = ±

A / √ A² + B²

Sinω = ±

B / √ A² + B²

P = ±

C / √ A² + B²

एक बिंदु की रेखा से दूरी :-

बिंदु (x₁,y₁) को रेखा Ax+By+C = 0 की लाम्बिक दूरी (d) रस प्रकार है -

d =

| Ax₁+ By₁+ C | / √ A² + B²

दो समांतर रेखाओ के बीच की दूरी :-

दो समांतर रेखाओं y = mx + c₁ और y = mx + c₂ के बीच की दूरी -

d =

| c₁ - c₂ | / √ 1 + m²

यदि रेखाएँ व्यापक रूप में दी गई है अर्थात् Ax+By+C₁ = 0 और Ax+By+C₂ = 0 तो बीच की दूरी -

d =

| c₁ - c₂ | / √ A² + B²

सरल रेखाओं से सम्बंधित प्रश्नोतरी ( Straight Lines Question and Answer ) :-

(1) उस रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए जो (3,-2) और (-1,4) बिंदुओ से होकर जाती है ?

रेखा की ढाल ( m ) =

y₂ - y₁ / x₂ - x₁

m =

4 - (-2) / -1 - 3

6 / -4

-3 / 2

(2) (-2,3) से जाने वाली ढाल -4 की रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ?

यहाँ m = -4
सरल रेखा की प्रवणता ( ढाल ) सूत्र से रेखा का समीकरण -
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 3 = -4(x + 2)
4x + y + 5 = 0

(3) बिंदुओ (1,-1) और (3,5) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ?

यहाँ x₁ = 1 , x₂ = 3 y₁ = -1 , y₂ = 5

सरल रेखा के समीकरण सूत्र से -

y - y₁ =

y₂ - y₁ / x₂ - x₁

(x - x₁)

y - y₁ =

y₂ - y₁ / x₂ - x₁

(x - x₁)

y - (-1) =

5 - (-1) / 3 - 1

(x - 1)

y + 1 =

5 + 1 / 2

(x - 1)

-3x + y + 4 = 0

(4) एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष और y-अक्ष से क्रमशः -3 और 2 के अंत: खंड बनाती है ?

यहाँ a = -3 और b = 2

अंत: खंड रूप से रेखा का समीकरण -

x / a

y / b

= 1

x / -3

y / 2

= 1

-2x + 3y / 6

= 1

2x - 3y + 6 = 0

(5) बिंदु (3,-5) की रेखा 3x - 4y - 26 = 0 से दूरी ज्ञात कीजिए ?

रेखा 3x - 4y - 26 = 0
उपरोक्त समीकरण कि तुलना रेखा का व्यापक समीकरण Ax + By + C = 0 से करने पर
A = 3 , B = -4 और C = -26
दिया गया बिंदु (x₁,y₁) = (3,-5) से रेखा कि दूरी -

d =

| Ax₁+By₁+C | / √ A² + B²

d =

| 3(3) + (-4)(-5) - 26 | / √ 3² + (-4)²

d =

| 9 + 20 - 26 | / √ 9 + 16

d =

3 / 5

(6) समांतर रेखाओं 3x - 4y + 7 = 0 और 3x - 4y + 5 = 0 के बीच कि दूरी ज्ञात कीजिए ?

यहाँ A = 3 , b = -4 , c₁ = 7 और c₂ = 5

दोनों समांतर रेखाओं के बीच कि दूरी -

d =

| c₁ - c₂ | / √ A² + B²

d =

| 7 - 5 | / √ 3² + (-4)²

d =

2 / 5

इकाई

सरल रेखा के सभी सूत्र ( Straight Line All Formulas ) :-

1. दो रेखाएँ समांतर होती है यदि और केवल यदि उनके ढाल समान है
m₁ = m₂

2. दो रेखाएँ लम्ब होती है यदि और केवल यदि उनके ढालों का गुणनफल -1 है |
m₁ * m₂ = -1

3. तीन बिंदु A, B और C संरेख होते है यदि और केवल यदि
AB की ढाल = BC की ढाल

4. x-अक्ष से a दूरी पर स्थित क्षेतिज रेखा का समीकरण या तो y = a या y = -a है |

5. y-अक्ष से b दूरी पर स्थित ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण या तो x = b या x = -b है |

6. स्थिर बिंदु (x₀ , y₀) से जाने वाली और ढाल m वाली रेखा पर बिंदु (x,y) स्थिर होगा यदि और केवल यदि इसके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते है
y - y₀ = m(x -x₀)

7. बिन्दुओं (x₁ , y₁) और (x₂ , y₂) से जाने वाली रेखा का समीकरण इस प्रकार है

y - y₁ =

y₂ - y₁ / x₂ - x₁

(x - x₁)

8. ढाल m और y- अंत: खंड c वाली रेखा पर बिंदु (x,y) होगा यदि और केवल यदि
y = mx + c

9. यदि ढाल m वाली रेखा x- अंत खंड d बनाती है तो रेखा का समीकरण
y = m( x -d )

10. x और y अक्षों से क्रमशः a और b अंत: खंड बनाने वाली रेखा का समीकरण

x / a

y / b

= 1

11. मूल बिंदु से लाम्बिक दूरी p और इस लम्ब तथा धन x-अक्ष के बीच ω कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण
xCosω + ySinω = P

12. यदि A और B एक साथ शून्य न हो तो Ax + By + C = 0 के रूप का कोई समीकरण रेखा का व्यापक रैखिक समीकरण या रेखा का व्यापक समीकरण कहलाता है

13. एक बिंदु (x₁ , y₁) से रेखा Ax + By + C = 0 की लाम्बिक दूरी (d) इस प्रकार है -

d =

| Ax₁+By₁+C | / √ A² + B²

14. समांतर रेखाओं Ax + By + C₁ = 0 और Ax + By + C₂ = 0 के बीच की दूरी है -

d =

| c₁ - c₂ | / √ A² + B²

15. (x₁ , y₁) और (x₂ , y₂) बिन्दुओं से जाने वाली उर्ध्वाधर रेखा कि ढाल m इस प्रकार है |

m =

y₂ - y₁ / x₂ - x₁

y₁ - y₂ / x₁ - x₂

, x₁ ≠ x₂

16. यदि एक रेखा x-अक्ष कि धन दिशा से α कोण बनाती है | तो रेखा की ढाल m = tanα , α ≠ 90 है |

17. क्षेतिज रेखा की ढाल शून्य है और उर्ध्वाधर रेखा की ढाल अपरिभाषित है |

18. m₁ और m₂ ढालों वाली रेखाओं L₁ व L₂ के बीच का न्यून कोण θ (मान लिया) हो तो

tanθ = |

m₂ - m₁ / 1 + m₁ m₂

| , 1 + m₁ m₂ ≠ 0

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