दीर्घवृत्त ( Ellipse) की परिभाषा , सूत्र तथा महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी

इस लेख में हमारे द्वारा दीर्घवृत्त ( Ellipse) की परिभाषा , सूत्र तथा महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी दिए गए है जो कक्षा 7 से 10 तथा 11 एवं 12 के लिए अतिमहत्वपूर्ण है | कक्षा 11 NCERT के लिए तो यह लेख बहुत ही फायदेमंद है | आप हमे नीचे comment करके बता सकते है कि आपको यह लेख कैसा लगा |

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दीर्घवृत्त ( Ellipse) क्या है / दीर्घवृत्त की परिभाषा :-

एक दीर्घवृत्त तल के उन बिन्दुओं का समुच्चय है जिनका तल में दो स्थिर बिन्दुओं से दूरी का योग अचर होता हैं |
अर्थात् यदि P₁ , P₂ , P₃ दीर्घवृत्त पर स्थिर बिंदु है तथा F₁ तथा F₂ दीर्घवृत्त की नाभियाँ है तब -
P₁F₁ + P₁F₂ = P₂F₁ + P₂F₂ = P₃F₁ + P₃F₂

Note :- दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु का दो स्थिर बिन्दुओं से दूरियों का योग अचर होता है , वह स्थिर बिन्दुओं के बीच से अधिक होता है |

दीर्घवृत्त ( Ellipse) क्या है / दीर्घवृत्त की परिभाषा

दीर्घवृत्त का केंद्र :-

नाभियों को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिंदु को दीर्घवृत्त का केंद्र कहते है |

दीर्घवृत्त का दीर्घ अक्ष ( Major axis of Ellipse ) :-

दीर्घवृत्त की नाभियों से जाने वाला रेखाखण्ड , दीर्घवृत्त का दीर्घ अक्ष कहलाता है | दीर्घ अक्ष की लम्बाई को 2a से तथा अर्ध दीर्घ अक्ष की लम्बाई को a से व्यक्त करते है |

दीर्घवृत्त का लघु अक्ष ( Minor axis of Ellipse ) :-

केंद्र से जाने वाला और दीर्घ अक्ष पर लम्बवत् रेखाखण्ड , दीर्घवृत्त का लघु अक्ष कहलाता है | लघु अक्ष की लम्बाई को 2b से तथा अर्ध लघु अक्ष की लम्बाई को b से व्यक्त करते है |

दीर्घवृत्त के शीर्ष :-

दीर्घ अक्ष के अन्त्य बिन्दुओं को , दीर्घवृत्त के शीर्ष कहते है |

दीर्घवृत्त के नाभियों की बीच की दूरी :-

दीर्घवृत्त की दोनों नाभियों F₁ तथा F₂ के बीच कि दूरी को 2c से व्यक्त करते है |

अर्ध - दीर्घ अक्ष (a) , अर्ध लघु अक्ष (b) और दीर्घवृत्त के केंद्र से नाभि की दूरी (c) के बीच में सम्बन्ध :-

a² = b² + c²

दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता ( Eccentricity of Ellipse ) :-

दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता , दीर्घवृत्त के केंद्र से नाभि और केंद्र से शीर्ष की दूरियों का अनुपात है | उत्केन्द्रता को e से व्यक्त करते है |

अर्थात् e =

c / a

क्योकिं नाभि की केंद्र से दूरी c है इसलिए उत्केन्द्रता के पद में नाभि की केंद्र से दूरी ae है |

दीर्घवृत्त के मानक समीकरण सूत्र ( standard equation of an Ellipse ) :-

एक दीर्घवृत्त का समीकरण सरलतम होता है यदि दीर्घवृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर हो और नाभियां x-अक्ष या y-अक्ष पर स्थित हो |

ऐसे दो संभव प्रकार है जिनका सूत्र सहित वर्णन निम्न प्रकार है -

1. दीर्घवृत्त का प्रथम मानक समीकरण सूत्र :-

इस स्थिति में दीर्घवृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर तथा नाभियां x-अक्ष पर स्थित है |

इस स्थिति में दीर्घवृत्त का सूत्र -

x² / a²

y² / b²

= 1

अत: कोई बिंदु P(x,y) जो

x² / a²

y² / b²

= 1 को संतुष्ट करता है , वह ज्यामितीय अनुबंधों को भी संतुष्ट करता है इसलिए P(x,y) दीर्घवृत्त पर स्थित है |

2. दीर्घवृत्त का द्वितीय मानक समीकरण सूत्र :-

इस स्थिति में दीर्घवृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर तथा नाभियां y-अक्ष पर स्थित है |

इस स्थिति में दीर्घवृत्त का सूत्र -

x² / b²

y² / a²

= 1

अत: कोई बिंदु P(x,y) जो

x² / b²

y² / a²

दीर्घवृत्त की नाभिलम्ब जीवा ( Latus Rection of an Ellipse ) :-

दीर्घवृत्त की नाभियों से जाने वाली और दीर्घ अक्ष पर लम्बवत रेखाखण्ड जिसके अन्त्य बिंदु दीर्घवृत्त पर हो , को दीर्घवृत्त की नाभिलम्ब जीवा कहते है |

चित्र में AB तथा CD दीर्घवृत्त की नाभिलम्ब जीवा है |

दीर्घवृत्त

x² / a²

y² / b²

= 1 की नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई का सूत्र =

2b² / a

दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल का सूत्र = πab

दीर्घवृत्त से सम्बंधित प्रश्नोतरी ( Ellipse Question and Answer ) :-

1. दीर्घवृत्त के x² / 25
+
y² / 9
= 1 नाभियो और शीर्षों के निर्देशांक , दीर्घ एवं लघु अक्ष की लम्बाईयां उत्केन्द्रता और नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए |

Ans. - यहाँ 25 > 9 इसलिए दीर्घ अक्ष x-अक्ष के अनुदिश है |

दिए गए समीकरण की तुलना

x² / a²

y² / b²

= 1 से करने पर

a = 5 , b = 3

तथा c = √a² - b²

c = √25 - 9

c = 4

नाभियों के निर्देशांक = (-4,0) और (4,0)

शीर्षों के निर्देशांक = (-5,0) और (5,0)

दीर्घ अक्ष की लम्बाई (2a) = 2 * 5 = 10 इकाईयां

लघु अक्ष की लम्बाई (2b) = 2 * 3 = 6 इकाईयां

उत्केन्द्रता e =

c / a

4 / 5

नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई =

2b² / a

2(3)² / 5

18 / 5

2. उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए , जिसकी नाभियों के निर्देशांक ( ±5 , 0 ) तथा शीर्षों के निर्देशांक ( ±13 , 0 ) है ?

Ans. - यहाँ दीर्घवृत्त का शीर्ष x-अक्ष पर स्थित है |

अत: इसका समीकरण

x² / a²

y² / b²

= 1 के रूप का होता

a = 13 , c = ±5

अत: c² = a² - b²

(5)² = (13)² - b²

b = 12

अत: दीर्घवृत्त का समीकरण -

x² / 169

y² / 144

= 1

3. उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए , जिसके दीर्घ अक्ष की लम्बाई 20 है तथा नाभियाँ ( 0 , ±5 ) है ?

Ans. - यहाँ नाभियाँ y-अक्ष पर स्थित है

इसलिए दीर्घवृत्त का समीकरण

x² / b²

y² / a²

= 1 के रूप का होगा |

दीर्घ अक्ष की लम्बाई 2a = 20
a = 10

अत: c² = a² - b²

(5)² = (10)² - b²

b² = 75

अत: दीर्घवृत्त का समीकरण -

x² / 75

y² / 100

= 1

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