अतिपरवलय(Hyperbola) का अर्थ,परिभाषा , सूत्र एवं महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी | PDF Download |

इस लेख में हमारे द्वारा अतिपरवलय(Hyperbola) का अर्थ,परिभाषा , सूत्र एवं महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी दिए गए है जो कक्षा 7 से 10 तथा 11 एवं 12 के लिए अतिमहत्वपूर्ण है | कक्षा 11 NCERT के लिए तो यह लेख बहुत ही फायदेमंद है | आप हमे नीचे comment करके बता सकते है कि आपको यह लेख कैसा लगा |

{tocify} $title={Table of Contents}

अतिपरवलय ( Hyperbola ) का अर्थ :-

एक द्विविमीय समतलीय वक्र है जप एक शांकव ( Conic ) होता है |

अतिपरवलय क्या है / अतिपरवलय की परिभाषा :-

एक अतिपरवलय तल के उन सभी बिन्दुओं का समुच्चय है जिनकी तल में दो स्थिर बिन्दुओं से दूरी का योग अचर होता है | यहाँ "अंतर" शब्द से तात्पर्य है दूर स्थिर बिंदु से दूरी ऋण निकट स्थिर बिंदु से दूरी |

अतिपरवलय की नाभियां :-

दो स्थिर बिन्दुओं को अतिपरवलय की नाभियां कहते है | आकृति में F₁ व F₂ अतिपरवलय की नाभियां है |

अतिपरवलय का केंद्र :-

नाभियों को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिंदु कों अतिपरवलय का केंद्र कहते है |

अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष ( Transverse axis of Hyperbola ) :-

नाभियों से गुजरने वाली रेखा को अतिपरवलय का अनुप्रस्थ अक्ष कहते है |

अतिपरवलय का संयुग्मी अक्ष ( Conjugate axis of Hyperbola ) :-

केंद्र से गुजरने वाली रेखा और अनुप्रस्थ अक्ष पर लम्बवत रेखा को अतिपरवलय का संयुग्मी अक्ष कहते है |

अतिपरवलय के शीर्ष ( Vertices of Hyperbola ) :-

अतिपरवलय , अनुप्रस्थ अक्ष को जिन बिन्दुओं पर काटता है , उन्हें अतिपरवलय के शीर्ष कहते है |

अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई :-

अतिपरवलय के दोनों शीर्षों के बीच की दूरी को अनुप्रस्थ अक्ष कि लम्बाई कहते है इसे 2a से प्रदशित करते है |

संयुग्मी अक्ष की लम्बाई :-

राशि b = √c² - a², 2b को संयुग्मी अक्ष की लम्बाई कहते है इसे सामान्यत: b से व्यक्त करते है |

समकोणीय अतिपरवलय ( Rectangular Hyperbola ) :-

एक अतिपरवलय जिसमें a = b हो , समकोणीय अतिपरवलय कहलाता है | समकोणीय अतिपरवलय की उत्केन्द्रता e = √2

अतिपरवलय की उत्केन्द्रता ( Eccentricity of Hyperbola ) :-

अतिपरवलय के केंद्र से नाभि और केंद्र से शीर्ष की दूरियों का अनुपात को अतिपरवलय की उत्केन्द्रता कहते है |
उत्केन्द्रता को e के द्वारा व्यक्त करते है |

अर्थात e =

c / a

उत्केन्द्रता कभी भी एक से कम नही होती है |
उत्केन्द्रता के सम्बन्ध में , नाभियाँ केंद्र से ae की दूरी पर होती है |

अतिपरवलय का मानक समीकरण सूत्र ( Standard equation of Hyperbola ) :-

यदि अतिपरवलय का केंद्र मूल बिंदु पर और नाभियाँ x-अक्ष या y-अक्ष पर स्थित हो तो अतिपरवलय का समीकरण सरलतम होता है |
ऐसे दो संभव प्रकार है जिनका सूत्र सहित वर्णन निम्न प्रकार है -

1. अतिपरवलय का प्रथम मानक समीकरण सूत्र :-

अतिपरवलय का केंद्र मूल बिंदु पर और नाभियाँ x-अक्ष पर स्थित है तो इस प्रकार के अतिपरवलय का सूत्र -

एक अतिपरवलय जिसका केंद्र मूल बिंदु (0,0) व अनुप्रस्थ अक्ष , x-अक्ष के अनुदिश है , का समीकरण सूत्र -

x² / a²

-

y² / b²

= 1

अत: यदि कोई बिंदु जो

x² / a²

-

y² / b²

= 1 को संतुष्ट करता है तो वह बिंदु अतिपरवलय पर स्थित होता है |

2. अतिपरवलय का द्वितीय मानक समीकरण सूत्र :-

अतिपरवलय का केंद्र मूल बिंदु पर और नाभियाँ y-अक्ष पर स्थित है तो इस प्रकार के अतिपरवलय का सूत्र -

एक अतिपरवलय जिसका केंद्र मूल बिंदु (0,0) y-अक्ष के अनुदिश है , का समीकरण सूत्र -

y² / a²

-

x² / b²

= 1

अत: यदि कोई बिंदु जो

y² / a²

-

x² / b²

= 1 को संतुष्ट करता है तो वह बिंदु अतिपरवलय पर स्थित होता है |

इन दो समीकरणों को "अतिपरवलय का मानक समीकरण " सूत्र कहते है |

अतिपरवलय की नाभिलम्ब जीवा ( Latus rectum of Hyperbola ) :-

अतिपरवलय की नाभियों से जाने वाली और अनुप्रस्थ अक्ष पर लम्बवत रेखाखण्ड जिसके अन्त्य बिंदु अतिपरवलय पर हो , को अतिपरवलय की नाभिलम्ब जीवा कहते है |

अतिपरवलय की नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई का सूत्र =

2b² / a

अतिपरवलय से सम्बंधित प्रश्नोतरी ( Hyperbola Question and Answer ) :-

1. निम्न अतिपरवलय के शीर्षों और नाभियों के निर्देशांक , उत्केन्द्रता और नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए |

x² / 9

-

y² / 16

= 1

इस समीकरण की तुलना मानक समीकरण

x² / a²

-

y² / b²

= 1 से करने पर

a = 3 , b = 4

c = √a² + b²

c = √ 9 + 16

c = 5

अत: नाभियों के निर्देशांक ( ±5,0)
शीर्षों के निर्देशांक ( ±3,0)

उत्केन्द्रता e =

c / a

=

5 / 3

नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई =

2b² / a

=

2(4)² / 3

=

32 / 3

2. नाभियाँ (0, ±3) और शीर्षों ( 0, ±

√11 / 2

) वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए ?

जहाँ नाभियाँ y-अक्ष पर है |

इसलिए अतिपरवलय का समीकरण

y² / a²

-

x² / b²

= 1 के रूप का है |

क्योकिं शीर्ष ( 0, ±

√11 / 2

)

इसलिए a =

√11 / 2

नाभियाँ ( 0, ±3 ) इसलिए c = 3

और b² = c² - a²

(3)² - (

√11 / 2

)² =

25 / 4

अत: अतिपरवलय का समीकरण -

y² / 11/4

-

x² / 25/4

= 1

4y² / 11

-

4x² / 25

= 1

100y² + 44x² = 275

3. उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभियाँ ( 0 , ±12 ) और नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई 36 हैं |

क्योकिं नाभियाँ ( 0 , ±12 ) इसलिए c = 12
नाभिलम्ब जीवा की लम्बाई = 2b²/a = 36
b² = 18a
इसलिए c² = a² + b²
(12)² = a² + 18a
a² + 18a - 144 = 0
a = -24 , 6
यहाँ a -24 तब a = 6 होगा और b² = 108

अत: अतिपरवलय का समीकरण -

y² / 36

-

x² / 108

= 1

3y² - x² = 108

3y² - x² = 108

✹ इन्हें भी पढ़े :-

बेलन / खोखले बेलन के सूत्र
घन के सूत्र , गुण एवं नियम ( cube formula )
घनाभ के सूत्र , गुण एवं नियम ( cuboid formula )
चतुर्भुज के सूत्र ( chaturbhuj ke sutra )
त्रिभुज के प्रकार
त्रिभुज व त्रिभुज के महत्वपूर्ण गुण एवं नियम
चतुर्भुज के प्रकार ,उनके गुण एवं सूत्रों का अध्धयन
त्रिभुज के परिकेंद , अंत: केंद्र , गुरुत्व केंद्र एवं लंब केंद्र

Maths Notes की Free PDF यहां से Download करें

सभी बिषयवार Free PDF यहां से Download करें

अतिपरवलय का अर्थ,परिभाषा , सूत्र एवं महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी Download PDF

Download PDF