गणित के सभी सूत्र ( Maths ke sabhi sutra )

गणित के सभी सूत्र ( Maths ke sabhi sutra )

Maths Formula list :- नीचे दिये गये सूत्रों को पढ़ने के लिए Click करें

1. चतुर्भुज के सूत्र
2. बीजगणित के सूत्र
3. घनाभ के सूत्र
4. घन के सूत्र
5. बेलन / खोखले बेलन के सूत्र
6. खोखले बेलन ( बेलनाकार पाइप ) के सूत्र
7. शंकु से सम्बंधित सूत्र
8. समचतुष्फलक के सूत्र
9. पिरामिड के सूत्र
10. प्रिज्म के सूत्र
11. समबहुभुजो के सूत्र
12. समषट्भुज के सूत्र
13. वृत के सूत्र
14. गोले के सूत्र
15. अर्द्धगोले के सूत्र
16. घात और घातांक एवं करणी के महत्वपूर्ण सूत्र
17. त्रिभुज के सम्बंधित महत्वपूर्ण सूत्र
18. विभाजन के सूत्र
19. लाभ और हानि के सूत्र
20. बट्टा के सूत्र
21. साधारण ब्याज / सरल ब्याज के सूत्र
22. चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र
23. HCF और LCM के नियम/सूत्र
24. औसत पर आधारित महत्वपूर्ण सूत्र
25. त्रिकोणमिति (Trigonometry) के सूत्र
26. प्रतिशतता के नियम , सूत्र
27. अवकलन के सूत्र



चतुर्भुज के सूत्र ( chaturbhuj ke sutra ) :-

1. चतुर्भुज का क्षेत्रफल का सूत्र =
1 / 2
× एक विकर्ण × संगत सम्मुख शीर्ष लंबो का योग

2. चतुर्भुज का परिमाप का सूत्र = चारो भुजाओ का योग
3. चतुर्भुज के चारो अन्त: कोणों का योग का सूत्र = 360°
4. चतुर्भुज के चारो बाह्य कोणों का योग का सूत्र = 360°

✹ वर्ग के सूत्र :-

1. वर्ग का विकर्ण का सूत्र = भुजा 2
2. वर्ग का परिमाप का सूत्र = 4 × भुजा

3. वर्ग का क्षेत्रफल का सूत्र = (भुजा)2 =
1 / 2
(विकर्ण)2

✹ आयत के सूत्र :-

1. आयत का विकर्ण का सूत्र = लम्बाई2 + चौड़ाई2
2. आयत का क्षेत्रफल का सूत्र = लम्बाई × चौड़ाई
3. आयत का परिमाप का सूत्र = 2 × ( लम्बाई + चौड़ाई )

✹ समांतर चतुर्भुज के सूत्र :-

1. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल का सूत्र = आधार × ऊंचाई
2. समांतर चतुर्भुज का परिमाप का सूत्र= 2 × आसन्न भुजाओ का योग
3. समांतर चतुर्भुज का परिमाप का सूत्र= 2 × ( लम्बाई + चौड़ाई )
4. भुजा व विकर्ण में सम्बन्ध :- (प्रथम विकर्ण)2 + (द्वितीय विकर्ण)2 = 2 × [ (प्रथम भुजा)2 + (द्वितीय भुजा)2 ]

✹ समचतुर्भुज के सूत्र :-

1. सम चतुर्भुज का क्षेत्रफल का सूत्र =
1 / 2
× प्रथम विकर्ण × दूसरा विकर्ण = 4 × भुजा2
2. सम चतुर्भुज का क्षेत्रफल का सूत्र
= भुजा2 -
विकर्ण2 / 2

3. सम चतुर्भुज का क्षेत्रफल का सूत्र= आधार × ऊंचाई
4. सम चतुर्भुज का परिमाप का सूत्र= 4 × भुजा

5. सम चतुर्भुज का एक विकर्ण का सूत्र=
2 × सम चतुर्भुज का क्षेत्रफल / दूसरा विकर्ण
6. सम चतुर्भुज का एक विकर्ण का सूत्र =
2 × (सम चतुर्भुज की एक भुजा)2 - (
दूसरा विकर्ण / 2
)2
7. सम चतुर्भुज की एक भुजा का सूत्र =
1 / 2
(पहला विकर्ण)2 + (दूसरा विकर्ण)2

✹ समलंब चतुर्भुज के सूत्र :-

1. समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल का सूत्र =
1 / 2
× समांतर भुजाओ का योग × ऊंचाई

2. समलंब चतुर्भुज का परिमाप का सूत्र = चारो भुजाओ का योग

✹ पतंग के सूत्र :-

1. पतंग का क्षेत्रफल का सूत्र =
1 / 2
× विकर्णों का गुणनफल

2. पतंग का परिमाप = चारो भुजाओ का योग

चतुर्भुज के सभी सूत्रों को डाउनलोड करें

बीजगणित के सूत्र ( Algebra Formula) :-

1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

3. ( a - b)2 = (a + b)2 - 4ab

4. (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab

5. a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab

6. a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab

7. a2 - b2 = (a + b)(a - b)

8. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

9. (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

10. (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

11. (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)

12. a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

13. a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)

14. a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

15. a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)

16. यदि a + b + c = 0 तो a3 + b3 + c3 = 3abc

17. a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) = - (b - c)(c - a)(a - b)

18. bc(b - c) + ca(c - a) + ab(a - b) = - (b - c)(c - a)(a - b)

19. a(b2 - c2) + b(c2 - a2) + c(a2 - b2) = (b - c)(c - a)(a - b)

20. a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = ½[(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

21. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

22. (a - b)4 = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4

23. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

24. (a - b - c)2 = a2 - b2 - c2 - 2ab + 2bc - 2ac

25. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)

26. a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)



✹ बीजगणित के नियम पर आधारित महत्वपूर्ण सूत्र :-

27. a2 +
1 / a2
= ( a +
1 / a
)2 - 2
या ( a -
1 / a
)2 + 2 = a2 +
1 / a2

28. a3 +
1 / a3
= ( a +
1 / a
)3 - 3 (a +
1 / a
)

29. a3 -
1 / a3
= ( a -
1 / a
)3 + 3 (a -
1 / a
)

30. यदि a +
1 / a
= 2 तब , an +
1 / an
= 2

31. यदि a +
1 / a
= 2 तब , an -
1 / an
= 0 { a = 1 रखने पर }

32. यदि a +
1 / a
= 2 तब , am +
1 / an
= 2 { a = 1 रखने पर } तथा m ≠ n

33. यदि a +
1 / a
= 2 तब , am -
1 / an
= 0 { a = 1 रखने पर } तथा m ≠ n

34. यदि a +
1 / a
= -2 तब , an +
1 / an
= 2 यदि n सम संख्या हो तथा an +
1 / an
= -2 , यदि n एक विषम संख्या हो | { a = -1 रखने पर }

35. यदि a +
1 / a
= -2 तब ,
am +
1 / an
= (-1)m +
1 / (-1)n

36. योगान्तरानुपात ( componendo and dividendo ) नियम यदि
a / b
=
c / d
तब ,
a + b / a - b
=
c + d / c - d

37. यदि
a + b / a - b
=
c / d
तब ,
a / b
=
c + d / c - d

38. ( a + b + c )3 = a3 + b3 + c3 - 3(a + b)(b + c)(c + a)

39. a4 + a2b2 + b4 = (a2 + ab + b2) (a2 - ab + b2)

40. यदि a +
1 / a
= x तब , a3 +
1 / a3
= x3 - 3x

41. यदि a -
1 / a
= x तब , a3 -
1 / a3
= x3 + 3x

42. यदि x + x + x + ........ ∞ जहाँ x = n(n+1)
तब x + x + x + ........ ∞ = (n+1)

43. यदि x - x - x - ........ ∞ जहाँ x = n(n+1)
तब x - x - x - ........ ∞ = n

44. बायनॉमियल सिद्धांत :-
(a + b)n = nC0an + nC1an - 1.b1 + nC2an - 2.b2 + ...... + nCn - 1a1.bn - 1 + nCn a0.bn
जहाँ , n एक धनात्मक संख्या तथा nCr =
n! / r! (n - r)!
(a + b)4 = 4C0a4b0 + 4C1a3.b1 + 4C2a2.b2 + 4C3a1.b3 + 4C4a0.b4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

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घनाभ के सूत्र :-

 घनाभ के सूत्र

1. आयलर सूत्र :- फलक + शीर्ष - किनारे = 2
» 6 + 8 - किनारे = 2 { घनाभ के लिए }
» किनारे = 12


2. घनाभ का आयतन का सूत्र = लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई


3. घनाभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = आधार का परिमाप x ऊँचाई
2 ( लम्बाई + चौड़ाई ) x ऊँचाई


4. घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = कुल वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल + 2 ( आधार का क्षेत्रफल )
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 2 ( लम्बाई x चौड़ाई + चौड़ाई x ऊँचाई + ऊँचाई x लम्बाई )
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 2 ( lb + bh + hl )


5. घनाभ का विकर्ण का सूत्र = लम्बाई2 + चौड़ाई2 + ऊँचाई2


6. घनाभ की आयताकार आकृतियों के विकर्ण :-
आकृति के अनुसार -
AC = BD = GE = FH = लम्बाई2 + चौड़ाई2
DF = CE = AG = BH = चौड़ाई2 + ऊँचाई2
AE = DH = BF = CG = लम्बाई2 + चौड़ाई2


7. यदि घनाभ की तीनो भुजाओ का योग तथा विकर्ण दिए हो तो -
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = ( लम्बाई + चौड़ाई + ऊँचाई )2 - (विकर्ण)2


8. घनाभ के प्रत्येक आयताकार पृष्ठ का क्षेत्रफल का सूत्र = लम्बाई x चौड़ाई


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घन के सूत्र :-

घन का नामांकित चित्र

1. आयलर सूत्र :- फलक + शीर्ष - किनारे = 2
» 6 + 8 - किनारे = 2 { घन के लिए }
» किनारे = 12


2. घन का आयतन का सूत्र = (भुजा)3 = a3

घन का आयतन
=
(
घन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल / 6
)3

3. घन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र =4 ( भुजा )2


4. घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 6 ( भुजा )2


5. घन का विकर्ण का सूत्र = भुजा 3


6. घन की प्रत्येक वर्गाकार आकृति का विकर्ण का सूत्र = भुजा 2


7. घन की प्रत्येक भुजा का सूत्र = घन का आयतन


8. घन के प्रत्येक वर्गाकार पृष्ठ का क्षेत्रफल का सूत्र = भुजा2


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बेलन / खोखले बेलन के सूत्र :-

  बेलन  के सूत्र

1. बेलन का आयतन का सूत्र = आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई
बेलन का आयतन का सूत्र = πr2h


2. बेलन के आधार का क्षेत्रफल का सूत्र = ऊपरी सतह का क्षेत्रफल = πr2


3. बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = आधार का परिमाप x ऊँचाई
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 2πrh


4. बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 2 x आधार का क्षेत्रफल + बेलन का वक्र पृष्ठ
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 2πr( h + r )


5. बेलन का विकर्ण का सूत्र = h2 + 4r2



✹ खोखले बेलन ( बेलनाकार पाइप ) के सूत्र :-

 खोखले बेलन ( बेलनाकार पाइप )

किसी आयताकार लोहें की चादर के किन्ही दो सिरों को आपस में अन्य समानांतर सिरों से मिलाने पर एक खोखले बेलन का निर्माण होता है |



खोखले बेलन के सूत्र :-

1. खोखले बेलन की मोटाई का सूत्र = R - r


2. खोखले बेलन के ऊपरी या निचली सतह का क्षेत्रफल का सूत्र = π( R2 - r2 )


3. खोखले बेलन के बाहय सतह का क्षेत्रफल का सूत्र = 2πrh


4. खोखले बेलन के आंतरिक सतह का क्षेत्रफल का सूत्र = 2πrh


5. खोखले बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल का सूत्र = 2πRh + 2πrh = 2πh( R + r )


6. खोखले बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 2π(R + r)(R - r + h)


7. खोखले बेलन की धातु का आयतन का सूत्र = πh( R2 - r2 )


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शंकु से सम्बंधित सूत्र :-

 शंकु से सम्बंधित सूत्र

1. शंकु की तिर्यक ऊँचाई ( l ) का सूत्र = r2 + h2


2. शंकु का आयतन का सूत्र = 1/3πr2h


3. शंकु का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल का सूत्र = πrl = πrr2 + h2


4. शंकु के आधार का क्षेत्रफल का सूत्र = πr2


5. शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = ( πrl + πr2 ) = πr ( l + r )
या शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = πrr2 + h2 + πr2


6. अन्त: वृत शंकु की त्रिज्या का सूत्र =
hr / l + r

लम्बवृर्तीय शंकु के छिन्नक के सूत्र :-

लम्बवृर्तीय  शंकु का छिन्नक के सूत्र

1. लम्बवृर्तीय शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई ( l ) का सूत्र = h2 + ( R - r )2


2. लम्बवृर्तीय शंकु के छिन्नक का आयतन का सूत्र =
πh / 3
[ R2 + r2 + Rr ]
या , लम्बवृर्तीय शंकु के छिन्नक का आयतन का सूत्र =
πh / 3
[ (R + r)2 - Rr ]

3. लम्बवृर्तीय शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठ का सूत्र = πl [ R + r ]


4. लम्बवृर्तीय शंकु के छिन्नक सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = π(R + r)l + πR2 + πr2
= π[ ( R2 + r2 ) + ( R + r )l ]


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समचतुष्फलक के सूत्र :-

 समचतुष्फलक के सूत्र

1. समचतुष्फलक का तिर्यक किनारा का सूत्र = a


2. समचतुष्फलक की तिर्यक ऊँचाई का सूत्र =
3 / 2
a

3. समचतुष्फलक के आधार त्रिभुज के अन्त: वृत की त्रिज्या ( r ) का सूत्र =
a / 23

4. समचतुष्फलक की ऊँचाई ( h ) का सूत्र =
2 / 3
a

5. समचतुष्फलक का आयतन का सूत्र =
2 / 12
a3

6. समचतुष्फलक का वक्र पृष्ठ का सूत्र =
33 / 4
a2

7. समचतुष्फलक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 3 a2


वर्गाकार पिरामिड का  चित्र
8. वर्गाकार पिरामिड का आयतन का सूत्र =
a2h / 3

9. वर्गाकार पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र =
a [ a + a2 + 4h2 ]


 समभुज पिरामिड का  चित्र
10. समभुज पिरामिड का आयतन का सूत्र =
1 / 12
2a3

11. समभुज पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 3a2


समचतुष्फलक ( Tetrahedron ) के सभी सूत्रों को डाउनलोड करें

पिरामिड के सूत्र :-

1. पिरामिड ( PYRAMID ) का आयतन का सूत्र =
1 / 3
x आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई

2. पिरामिड ( PYRAMID ) की तिरछी सतह का क्षेत्रफल का सूत्र =
1 / 2
x आधार का परिमिति x तिरछी ऊँचाई
पिरामिड ( PYRAMID ) का वक्र पृष्ठ का सूत्र =
1 / 2
x आधार का परिमिति x तिरछी ऊँचाई

3. पिरामिड ( PYRAMID ) की तिरछी ऊँचाई (l) का सूत्र =
a2 / 4
+ h2

( जहाँ आयत / वर्ग / त्रिभुज का आधार a तथा h ऊँचाई है )
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प्रिज्म के सूत्र ( ( Prism ke sutra ):-

1. प्रिज्म का आयतन का सूत्र = आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई

2. प्रिज्म की तिरछी सतह का क्षेत्रफल का सूत्र = आधार की परिमिति x तिरछी ऊँचाई

3. प्रिज्म का सम्पूर्ण क्षेत्रफल का सूत्र = ( आधार की परिमिति x ऊँचाई ) + 2 x ( आधार का क्षेत्रफल )

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समबहुभुजो के सूत्र :-

1. बहुभुज के आतंरिक कोणों का योगफल का सूत्र = ( n - 2) x 180° , जहाँ n भुजाओं की संख्या है |


2. समबहुभुज का प्रत्येक बाहय कोण का सूत्र = 180° - ( प्रत्येक आंतरिक कोण )


3. समबहुभुज का प्रत्येक आतंरिक कोण का सूत्र =
( n - 2 ) x 180° / n

4. बहुभुज के सभी बाहय कोणों का योगफल 360° होता है


5. समबहुभुज का प्रत्येक बाहय कोण का सूत्र =
360° / n

6. समबहुभुज में प्रत्येक भुजा द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण का सूत्र =
360° / n

7. समबहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र =
n ( n - 3 ) / 2

समबहुभुज के क्षेत्रफल के सूत्र :-

8. n भुजाओं वाले समबहुभुज का क्षेत्रफल का सूत्र
=
na2 / 4
cot
𝛑 / n

जहाँ n = भुजाओं की संख्या , a = भुजा की लम्बाई

9. n भुजाओं वाले समबहुभुज के बाहय वृत्त की त्रिज्या का सूत्र
( R )
=
a / 2
cosec
180° / n

10. n भुजाओं वाले समबहुभुज के अन्त: वृत्त की त्रिज्या का सूत्र
( r )
=
a / 2
cot
180° / n

समषट्भुज के सूत्र :-

समषट्भुज के परिवृत का व्यास का सूत्र = 2a

समषट्भुज के विकर्ण की लम्बाई का सूत्र = 3 a

समषट्भुज का क्षेत्रफल का सूत्र =
33 / 2
a2

समषट्भुज के परिवृत की त्रिज्या (R) का सूत्र = समषट्भुज की भुजा(a)

समषट्भुज के अंत: वृत की त्रिज्या ( r ) का सूत्र =
3 / 2
a

एक समषट्भुज में तीन समचतुर्भुज बनते है जिसका क्षेत्रफल का सूत्र =
3 / 2
a2
बहुभुज,समबहुभुज तथा समषट्भुज के सभी सूत्रों को डाउनलोड करें

वृत के महत्वपूर्ण सूत्र :-

1. वृत्त की त्रिज्या का सूत्र = r

2. वृत्त की त्रिज्या ( r) का सूत्र =
परिधि /
या क्षेत्रफल ÷ r

3. वृत्त का व्यास का सूत्र = 2r

4. वृत्त का क्षेत्रफल का सूत्र= π r2

5. वृत्त का परिमाप / परिधि का सूत्र = 2πr = π x व्यास

6. अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल का सूत्र =
1 / 2
× πr2

7. अर्द्धवृत्त का परिमाप का सूत्र = πr + 2r

8. वृत्त के चतुर्थांश का परिमाप का सूत्र =
r / 2
( π + 4 )

9. वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल का सूत्र =
1 / 4
× πr2

10. वृत्त के त्रिज्याखंड की चाप की लम्बाई ( l) का सूत्र =
π r θ / 180°
( जहाँ θ केंद्र पर बना कोण है )

11. वृत्त के केंद्र पर बना कोण ( θ ) का सूत्र =
चाप की लम्बाई / वृत की त्रिज्या
=
l / r
( रेडियन में )

12. दो संकेंद्री वृत्तों के बीच का क्षेत्रफल का सूत्र = π (r12 - r22)

13. लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल का सूत्र =
πr2θ / 360
-
1 / 2
r2 Sinθ

14. वृत के लघु त्रिज्याखण्ड का परिमाप का सूत्र =
π r θ / 180
+ 2 r

15. दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल का सूत्र = वृत्त का क्षेत्रफल - लघु वृत्त खंड का क्षेत्रफल
दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल का सूत्र = πr2 - [
πr2θ / 360
-
1 / 2
r2 Sinθ ]

16. लघु त्रिज्यखंड के चाप की लम्बाई (l) का सूत्र =
πrθ / 180

17. दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल का सूत्र = πr2 [
360 - θ / 360
]
18. लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल का सूत्र =
πr2θ / 360
या
1 / 2
L × R

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गोले के सूत्र ( gole ke sutra) :-

1. गोले का आयतन का सूत्र =
4 / 3
πr3

2. गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 4πr2

3. गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 4πr2

4. गोलीय कोश का आयतन का सूत्र =
4 / 3
π ( R3 - r3 )

5. यदि किसी गोले को उसके व्यास के सापेक्ष n भागों में काटा जाता है तो इन n भागों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = (4 + n) πr2

अर्द्धगोले के सूत्र ( ardhgole ke sutra) :-

6. अर्द्धगोले का आयतन का सूत्र =
2 / 3
πr3

7. अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = आधार का क्षेत्रफल + वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= πr2 + 2πr2
= 3πr2

8. अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 2πr2

गोले / अर्द्धगोले के सभी सूत्रों को डाउनलोड करें

घात और घातांक एवं करणी के महत्वपूर्ण सूत्र ( ghat aur ghatanak evm karni ke sutra ) :-


Formula / सूत्र 1. a-n =
1 / an

Formula / सूत्र 2.
1 / a-n
= an

Formula / सूत्र 3. a0 = 1

Formula / सूत्र 4. a1 = a

Formula / सूत्र 5. am x an x ap = am+n+p

Formula / सूत्र 6. an x bn x cn = (abc)n

Formula / सूत्र 7. a x a x a x .......... x ( n बार ) = an

Formula / सूत्र 8. (am)n = amn

Formula / सूत्र 9. am x bm = (ab)m

Formula / सूत्र 10. xn = a तब x = a1/n

Formula / सूत्र 11. xn = am तब x = am/n

Formula / सूत्र 12.
am / an
= am-n

Formula / सूत्र 13.
am / bm
= (
a / b
)m

Formula / सूत्र 14. (
a / b
)m = (
b / a
)-m

Formula / सूत्र 15. am = bm तब a = b

Formula / सूत्र 16. (
a / b
)-m = (
b / a
)m

Formula / सूत्र 17. (am)1/n = am/n

Formula / सूत्र 18. [(am)n]p = amnp

Formula / सूत्र 19. amn ≠ (am)n

Formula / सूत्र 20. am1/n ≠ (am)1/n

Formula / सूत्र 21. amnp ≠ [(am)n]p

Formula / सूत्र 22. na = a 1/n

Formula / सूत्र 23. (na) n = a

Formula / सूत्र 24. nab = na x nb = (a)1/n x (b)1/n

25. n na = a
1 / n2

Formula / सूत्र 26. n
a / b
=
na / nb
= [
a / b
]1/n

Formula / सूत्र 27. m na = (mn)a

Formula / सूत्र 28. यदि ax = ay तब x = y

Formula / सूत्र 29. यदि a + b = m + n
तब a = m तथा b = n

Formula / सूत्र 30. यदि a + bc = m + nc
तब a = m तथा b = n

घातांक और करणी Formula :-

Formula / सूत्र 31. a +a +a + ....... ∞ =
1 + 1 + 4a / 2

Formula / सूत्र 32. a -a -a - ....... ∞ =
- 1 + 1 + 4a / 2

Formula / सूत्र 33. a xa xa x ...... ∞ = a

Formula / सूत्र 34. a xa xa x ............. n पद = a
2n - 1 / 2n

Formula / सूत्र 35. a+b a+b a+b + ............. ∞
=
b + b2 + 4a / 2

Formula / सूत्र 36. a-b a-b a-b ............. ∞
=
- b + b2 + 4a / 2

Formula / सूत्र 37. a + a -a +a - ............. ∞
=
4a - 3 + 1 / 2

Formula / सूत्र 38. a - a +a -a + ............. ∞
=
4a - 3 - 1 / 2

Formula / सूत्र 39. a+b a-b a+b a-b ............. ∞
=
4a - 3b2 + b / 2

Formula / सूत्र 40. a-b a+b a-b a+b ............. ∞
=
4a - 3b2 - b / 2

Formula / सूत्र 41. na x mb x na x mb x ... ∞
= (amb) 1/(mn - 1)

Formula / सूत्र 42. यदि
1 / a2 - a + 1
= Aa2 + Ba + C
तब A = 0 ; B =
1 / a + 1
; C =
1 / a + 1

Formula / सूत्र 43. यदि
1 / a2 + a + 1
= Aa2 + Ba + C
तब A = 0 ; B =
1 / a - 1
; C =
- 1 / a - 1

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त्रिभुज के सम्बंधित महत्वपूर्ण सूत्र :-

1. त्रिभुज के अंतः कोण का सूत्र :-

त्रिभुज के तीनों अंतः कोणों का योग 180° होता है ।
A + B + C = 180



2. त्रिभुज के बाह्य कोण का सूत्र :-

त्रिभुज के तीनों बाह्य कोणों का योग 360° होता है ।
∠x + ∠y + ∠z = 180


3. त्रिभुज का परिमाप का सूत्र =

तीनो भुजाओं का योग



4. त्रिभुज का क्षेत्रफल =
1 / 2
x आधार x ऊंचाई


5. हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल का सूत्र =

√ s(s-a)(s-b)(s-c)


जहां अर्ध परिमाप ( S ) =
a + b + c / 2

6. त्रिभुज का Sin सूत्र =

  त्रिभुज  का Sin सूत्र
SinA / a
=
SinB / b
=
SinC / c

7. त्रिभुज का Cos सूत्र =

  त्रिभुज  का Cos सूत्र
CosA =
b2 + c2 - a2 / 2bc
तथा CosB =
c2 + a2 - b2 / 2ac
तथा Cosc =
a2 + b2 - c2 / 2ab

8.. समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र =
3 / 4
x ( भुजा ) 2

9. समबाहु त्रिभुज के परिमाप का सूत्र = 3 x भुजा

10. समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई / माध्यिका ( h ) का सूत्र =
3 / 2
x ( भुजा )

11. समबाहु त्रिभुज की परिवृत्त की त्रिज्या ( R ) का सूत्र =
समबाहु त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई / √3
=
a / √3

12. समबाहु त्रिभुज की अंतः वृत्त की त्रिज्या ( r ) का सूत्र =
समबाहु त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई / 2√3
=
a / 2√3

समद्विबाहु त्रिभुज
13. समद्विबाहु त्रिभुज के परिमाप का सूत्र = तीनो भुजाओं का योग

14. समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र =
a / 4
4b2 - a2

* समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई का सूत्र =
1 / 2
4b2 - a2

विषमबाहु त्रिभुज
15. विषमबाहु त्रिभुज के परिमाप का सूत्र = तीनो भुजाओं का योग |

16. विषमबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र = S ( S - a ) ( S - b ) ( S - c )
जहां अर्ध परिमाप ( S ) का सूत्र =
a + b + c / 2

  न्यूनकोण त्रिभुज
17. न्यूनकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र =
1 / 2
x आधार x ऊंचाई
या क्षेत्रफल = S ( S - a ) ( S - b ) ( S - c )

समकोण
18. समकोण त्रिभुज के अंतः वृत्त की त्रिज्या ( अंत : त्रिज्या ) का सूत्र =
आधार + लंब - कर्ण / 2

19. समकोण त्रिभुज के बाहय वृत्त की त्रिज्या ( परित्रिज्या ) का सूत्र =
कर्ण / 2

20. समकोण त्रिभुज के परिमाप का सूत्र = तीनो भुजाओं का योग


21. समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र =
1 / 2
x ab x Sinθ
21. समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र =
1 / 2
x समकोण बनाने वाली भुजाओ का गुणनफल

22. किसी समकोण त्रिभुज में ( पाइथागोरस प्रमेय ) -
(कर्ण)2 = (आधार)2 + (लम्ब)2

23. समकोण त्रिभुज की ऊंचाई का सूत्र = bSinθ


अधिक कोण
24. अधिक कोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र =
1 / 2
x आधार x ऊंचाई

या क्षेत्रफल = √s(s-a)(s-b)(s-c)


25. त्रिभुज के परिवृत की त्रिज्या( परित्रिज्या ) =
तीनों भुजाओं का गुणनफल / 4 x त्रिभुज का क्षेत्रफल

26. त्रिभुज के अंत: वृत की त्रिज्या ( अंत:त्रिज्या ) =
त्रिभुज का क्षेत्रफल / त्रिभुज का अर्धपरिमाप

27. कर्ण = आधार2 + लम्ब2
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विभाजन के सूत्र :-

1. भाज्य = (भाजक x भागफल) + शेषफल

2. शेषफल = भाज्य - ( भाजक x भागफल )

3. भाजक =
भाज्य - शेषफल / भागफल

4. भागफल =
भाज्य - शेषफल / भाजक
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लाभ और हानि पर आधारित महत्वपूर्ण सूत्र :-

सूत्र-1. लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य

सूत्र-2. लाभ % =
लाभ / क्रय मूल्य
x 100

सूत्र-3. हानि = क्रय मूल्य - विक्रय मूल्य

सूत्र-4. हानि % =
हानि / क्रय मूल्य
x 100

सूत्र-5. विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य [
100 + लाभ% / 100
]

सूत्र-6. क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य [
100 / 100 + लाभ%
]

सूत्र-7. विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य [
100 - हानि% / 100
]

सूत्र-8. विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य + लाभ

सूत्र-9. क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य - लाभ

सूत्र-10. विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य - हानि

सूत्र-11. क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य + हानि

सूत्र-12. लागत मूल्य = क्रय मूल्य + उपरिव्यय

सूत्र-13. क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य [
100 / 100 - हानि%
]

सूत्र-14. किसी वस्तु को उसके क्रय मूल्य पर खरीदने के बाद जो अतिरिक्त खर्चा किया जाता है उसे उपरिव्यय कहते है |
अर्थात कुल लागत मूल्य = क्रय मूल्य + उपरिव्यय


सूत्र-15. लाभ तथा हानि दोनों हमेशा क्रय मूल्य पर ज्ञात किए जाते है


सूत्र-16. यदि A , B को कोई वस्तु x% लाभ पर बेचता है तथा B इसे C को y% लाभ पर बेचता है तो -

कुल लाभ% = [ x + y +
xy / 100
]%

सूत्र-17. यदि A , B को कोई वस्तु a% हानि पर बेचता है तथा B इसे C को b% हानि पर बेचता है तो -

कुल हानि% = [ -a - b +
ab / 100
]%

सूत्र-18. यदि दो वस्तुओ को बेचा जाता है तथा पहली वस्तु पर x% हानि तथा दूसरी वस्तु पर x% का लाभ होता है तो ऐसी स्थिति में सदैव हानि होती है

हानि% =
x2 / 100
%

सूत्र-19. यदि कोई बेईमान दुकानदार अपनी वस्तुओं को क्रय मूल्य पर बेचता है परन्तु सही वजन की जगह कम वजन का प्रयोग करता है तो -

लाभ% =
सही वजन - कम वजन / कम वजन
x 100%

सूत्र-20. यदि x वस्तुओ का क्रय मूल्य , y वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है तो -

लाभ% या हानि% =
x - y / y
x 100
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बट्टा पर आधारित महत्वपूर्ण सूत्र :-

सूत्र-1. बट्टा = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य

सूत्र-2. अंकित मूल्य = बट्टा + विक्रय मूल्य

सूत्र-3. विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य - बट्टा

सूत्र-4. बट्टा% =
बट्टा / अंकित मूल्य
x 100

सूत्र-5. बट्टा राशि =
अंकित मूल्य x बट्टा दर / 100

सूत्र-6. अंकित मूल्य =
बट्टा राशि x 100 / बट्टा दर

सूत्र-7. अंकित मूल्य = क्रय मूल्य x [
100 + लाभ / 100 - बट्टा
]

सूत्र-8. बट्टा = [
बट्टा% / अंकित मूल्य
] x 100

सूत्र-9. बट्टा हमेशा अंकित मूल्य पर ज्ञात किया जाता है


सूत्र-10. यदि कोई विक्रेता किसी वस्तु को D% बट्टा देकर बेचता है तो

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य [
100 - D / 100
]
अंकित मूल्य = विक्रय मूल्य [
100 / 100 - D
]

सूत्र-11. यदि किसी वस्तु पर D1 , D2 ,D3 तीन लगातार बट्टा या क्रमिक बट्टे है तो -

समतुल्य बट्टा / कुल बट्टा = 100 - [ (
100 - D1 / 100
) (
100 - D2 / 100
) (
100 - D3 / 100
) x 100 ]

सूत्र-12. यदि किसी वस्तु पर D1 तथा D2 दो क्रमिक बट्टे है तो -

कुल बट्टा = [ D1 + D2 -
D1D2 / 100
]%

सूत्र-13. यदि किसी वस्तु के अंकित मूल्य पर D% बट्टा देने के बाद भी विक्रेता को P% लाभ या हानि होता है तो -

अंकित मूल्य / क्रय मूल्य
=
100 + P / 100 - D
( यहाँ धनात्मक चिन्ह लाभ तथा ऋणात्मक चिन्ह हानि के लिए है )

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साधारण ब्याज / सरल ब्याज पर आधारित महत्वपूर्ण सूत्र :-

सूत्र-1. यदि ब्याज छमाही संयोजित हो तो दर का आधा तथा समय का दोगुना कर देते है


सूत्र-2. यदि ब्याज तिमाही संयोजित हो तो दर की एक चोथाई तथा समय को चार गुना करते है


सूत्र-3. साधारण ब्याज ( SI) =
मूलधन x समय x दर / 100

सूत्र-4. मूलधन (P) =
साधारण ब्याज x 100 / समय x दर

सूत्र-5.समय (T) =
साधारण ब्याज x 100 / मूलधन x दर

सूत्र-6.दर (r) =
साधारण ब्याज x 100 / मूलधन x समय

सूत्र-7. मिश्रधन (A) = मूलधन + ब्याज

सूत्र-8. मूलधन (P) = मिश्रधन - ब्याज

सूत्र-9. ब्याज(r) = मिश्रधन - मूलधन

सूत्र-10. यदि अलग - अलग समय के लिए ब्याज की दर अलग - अलग हो जैसे
पहले T1 वर्ष के लिए दर R1% है
दूसरे T2 वर्ष के लिए दर R2% है
तीसरे T3 वर्ष के लिए दर R3% है
तब तीनो वर्षो का कुल साधारण ब्याज
S.I = P [
R1T1 + R2T2 + R3T3 / 100
]

सूत्र-11. मिश्रधन = मूलधन [
100 + (समय x दर) / 100
]

सूत्र-12. यदि साधारण ब्याज (SI) , मूलधन का n गुना हो जाता है तो -
अर्थात् साधारण ब्याज = n x मूलधन
तो समय x दर = n x 100

सूत्र-13. यदि मिश्रधन , मूलधन का n गुना हो जाता है तो -
अर्थात् मिश्रधन = n x मूलधन
तो समय x दर = (n-1) x 100

सूत्र-14. यदि कोई धनराशि साधारण ब्याज की दर पर T वर्षो में खुद का n गुना हो जाता है तो वार्षिक ब्याज दर -
दर% =
(n - 1) / समय
x 100%
या
समय% =
(n - 1) / दर
x 100%

सूत्र-15. यदि विभिन्न साधारण ब्याज दरों तथा समयों पर दो साधारण ब्याजो का अंतर K है तो -
मूलधन (P) =
K x 100 / (ब्याज दरों का अंतर) x (समय का अंतर)

सूत्र-16. यदि कोई धनराशि t वर्ष में A1 हो जाती है तथा ब्याज दर में r% का परिवर्तन होने पर यह धनराशि t वर्ष में x2 हो जाती है तो -
मूलधन (P) =
मिश्रधन का अंतर x 100 / (ब्याज दर में परिवर्तन ) x समय

सूत्र-17. यदि कोई धनराशि P1 साधारण ब्याज की दर R1 से T1 समय के लिए जमा की जाती है तथा एक अन्य राशि P2 साधारण ब्याज की दर R2 से T2 समय के लिए जमा की जाती है तो दोनों के साधारण ब्याज का अंतर होगा -
साधारण ब्याज =
P2R2T2 - P1R1T1 / 100

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चक्रवृद्धि ब्याज पर आधारित महत्वपूर्ण सूत्र :-

सूत्र-1. यदि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होता है तो दर का आधा तथा समय का दोगुना करते है


सूत्र-2. यदि ब्याज तिमाही संयोजित हो तो दर का एक चोथाई तथा समय को चार गुना करते है


सूत्र-3. यदि ब्याज मासिक संयोजित हो तो दर का 1/12 तथा समय को 12 गुना करते है


सूत्र-4. मिश्रधन (A) = मूलधन + चक्रवृद्धि ब्याज

सूत्र-5. मूलधन (P) = मिश्रधन - चक्रवृद्धि ब्याज

सूत्र-6. चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन - मूलधन

सूत्र-7. मिश्रधन = मूलधन [ 1 +
दर / 100
]समय

सूत्र-8. चक्रवृद्धि ब्याज = मूलधन [ ( 1 +
दर / 100
)समय - 1 ]

सूत्र-9. यदि विभिन्न समयों के लिए विभिन्न चक्रवृद्धि ब्याज की दरे दी गई हो तो -
पहले वर्ष के लिए दर R1% है
दूसरे वर्ष के लिए दर R2% है
तीसरे वर्ष के लिए दर R3% है
तब तीन वर्ष बाद मिश्रधन (A)
A = P (1 +
R1 / 100
) (1 +
R2 / 100
) (1 +
R3 / 100
)

सूत्र-10. दो वर्षो के लिए चक्रवृद्धि ब्याज तथा साधारण ब्याज का अंतर -
चक्रवृद्धि ब्याज - साधारण ब्याज = मूलधन (
दर / 100
)2 =
साधारण ब्याज x दर / 200

सूत्र-11. तीन वर्षो के लिए चक्रवृद्धि ब्याज तथा साधारण ब्याज का अंतर -
चक्रवृद्धि ब्याज - साधारण ब्याज =
मूलधन (
दर / 100
)2 [ 3 +
दर / 100
]

सूत्र-12. यदि कोई धनराशि चक्रवृद्धि ब्याज की दर R% से T वर्षो में खुद की n गुनी हो जाती है तो -
R% = [ n1/T - 1 ] x 100%

सूत्र-13.यदि किसी धनराशि पर प्राप्त साधारण ब्याज 2 वर्षो के लिए R% दर पर चक्रवृद्धि ब्याज (CI) है तो -
चक्रवृद्धि ब्याज = साधारण ब्याज [ 1 +
दर / 200
]

सूत्र-14. यदि कोई धनराशि चक्रवृद्धि ब्याज के हिसाब से T1 वर्ष में N गुना हो जाती है तथा T2 वर्ष में M गुना हो जाती है तो -
(N)1/T1 = (M)1/T2

सूत्र-15. यदि कोई धनराशि T वर्ष में खुद की m गुना हो जाती है जबकि चक्रवृद्धि ब्याज की दर वार्षिक हो तो कितने समय में यह खुद का mn हो जाएगी -
अभीष्ट समय = ( t x n ) वर्ष

सूत्र-16. n वर्ष पश्चात् जनसंख्या =
वर्तमान जनसंख्या [ 1 +
दर / 100
]समय

सूत्र-17. n वर्ष पूर्व जनसंख्या =
वर्तमान जनसंख्या
[
1 / ( 1 +
दर / 100
)समय
]

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HCF और LCM के नियम/सूत्र ( HCF और LCM ke niyam/sutra) :-

नियम -1. पहली संख्या x दूसरी संख्या = ल.स. x म.स.

नियम -2. पहली संख्या =
ल.स. x म.स. / दूसरी संख्या

नियम -3. दूसरी संख्या =
ल.स. x म.स. / पहली संख्या

नियम -4 . ल.स. =
पहली संख्या x दूसरी संख्या / म.स.

नियम -5.म.स. =
पहली संख्या x दूसरी संख्या / ल.स.

नियम -6.भिन्नों का ल.स. =
अंशों का ल.स. / हरों का म.स.

नियम -7.भिन्नों का म.स. =
अंशों का म.स. / हरों का ल.स.

नियम -8. यदि किन्ही दो या दो से अधिक संख्याओ के बीच कोई भी उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो तो उनका म.स. 1 तथा ल.स. उन संख्याओ का गुणनफल होता है

नियम -9. यदि दो संख्याएँ x:y के अनुपात में हो तथा दोनों एक-दूसरे से अविभाज्य हो तो
प्रथम संख्या = xk ; दूसरी संख्या = yk
जहाँ k एक नियतांक है
म.स. = k
ल.स. = xyk

नियम -10. यदि एक संख्या , दूसरी संख्या का गुणज हो तो उनका ल.स. सबसे बड़ी संख्या तथा म.स. सबसे छोटी संख्या होती है

नियम -11. ल.स. तथा म.स. का मान कभी - भी ऋणात्मक प्राप्त नही हो सकता है

नियम -12. जब कोई संख्या a,b या c में विभाजित किया जाता है तथा प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल 'r' हो तो वह संख्या (k + r) होगा, जहाँ k,a,b, तथा c का लघुत्तम समापवर्त्य है

नियम -13. जब कोई संख्या a,b या c में विभाजित की जाती है और शेषफल क्रमशः p,q तथा r आता है तथा प्रत्येक स्थिति में भाजक तथा शेषफल का अंतर समान हो जैसे-(a-p) = (b-q) = (c-r) = t(माना) , तब वह न्यूनतम संख्या (k-t) होगी , जहाँ k,a,b तथा c का लघुत्तम समापवर्त्य है

नियम -14. वह बड़ी-से-बड़ी संख्या जो संख्याएँ a,b तथा c को विभाजित करे तो समान शेषफल आए | तब वह बड़ी-से-बड़ी संख्या , (a-b),(b-c) तथा (c-a) का महत्तम समापवर्तक होगा

नियम -15. वह बड़ी-से-बड़ी संख्या जो संख्याएँ a,b तथा c को विभाजित करे तथा शेषफल क्रमशः p,q तथा r आये वह संख्या (a-p),(b-q) तथा (c-r) का महत्तम समापवर्तक होगा

नियम -16. n-अंको की बड़ी-से-बड़ी संख्या ज्ञात करो जिसे p,q,r से भाग करने पर कुछ भी शेष न रहे तो वह संख्या होगी ( n-अंको की बड़ी संख्या) - R
R वह शेषफल है जो n अंको की बड़ी संख्या को p,q,r के लघुत्तम समापवर्त्य से भाग करने पर प्राप्त होता |

नियम -17. n-अंको की बड़ी-से-बड़ी संख्या जिसे p,q,r से भाग करने 'a' शेषफल प्राप्त होता है वह संख्या = [n-अंको की बड़ी संख्या - R] + a
R = शेषफल जो n-अंको की बड़ी संख्या को p,q,r के लघुत्तम समापवर्त्य से भाग करने पर प्राप्त होती है

नियम -18. दो या दो से अधिक संख्याओं का ल.स. उन संख्याओं से छोटी नही होता है

नियम -19. दो या दो से अधिक संख्याओं का म.स. उन संख्याओं से बड़ा नही होता है

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औसत के सूत्र :-

सूत्र/नियम -1. राशियों का कुल योग = औसत x राशियों की कुल संख्या

सूत्र/नियम -2. औसत (A) =
राशियों का कुल योग / राशियों की कुल संख्या

सूत्र/नियम -3.सही औसत (A) =
राशियों का योग - गलत आँकड़ा + सही आँकड़ा / सही राशियों की संख्या

सूत्र यदि दी गई राशियां (x) किसी निश्चित आवृति (A) के साथ हो तो औसत
=
A1x1 + A2x2 + ..... + Anxn / x1 + x2 + ..... + xn

जहाँ A1 , A2 , A3 ..... An आवृतियां है

सूत्र/नियम -4. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओ का योग =
n (n+1) / 2
1+2+3+4+5 ..... + n =
n (n+1) / 2

सूत्र/नियम -5. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओ का औसत =
n+1 / 2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 ..... + n / n
=
n+1 / 2

सूत्र/नियम -6. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओ के वर्गो का योग =
n(n+1)(2n+1) / 6
12 + 22 + 32 + 42 + 52 ..... + n2 =
n(n+1)(2n+1) / 6

सूत्र/नियम -7. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओ के वर्गो का औसत =
(n+1)(2n+1) / 6
12 + 22 + 32 + 42 + 52 ..... + n2 / n
=
(n+1)(2n+1) / 6

सूत्र/नियम -8. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओ के घनों का योग = [
n(n+1) / 2
]2
13 + 23 + 33 + 43 + 53 ..... + n3 = [
n(n+1) / 2
]2

सूत्र/नियम -9. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओ के घनों का औसत =
n(n+1)2 / 4
13 + 23 + 33 + 43 + 53 ..... + n3 / n
=
n(n+1)2 / 4

सूत्र/नियम -10. प्रथम n विषम प्राकृतिक संख्याओ का योग = n2

सूत्र/नियम -11. प्रथम n विषम प्राकृतिक संख्याओ का औसत = n

सूत्र/नियम -12. प्रथम n सम प्राकृतिक संख्याओ का योग = n(n+1)

सूत्र/नियम -13. प्रथम n सम प्राकृतिक संख्याओ का औसत = n+1

सूत्र/नियम -14. किसी लगातार संख्याओ जैसे - a,b,c ..... n का औसत =
a + n / 2

सूत्र/नियम -15. संख्या 'x' के प्रथम n गुणको का औसत =
x(1 + n) / 2

सूत्र/नियम -16. यदि 'n1' संख्याओ का औसत 'a1' है तथा 'n2 संख्याओ का औसत 'a2' तो कुल संख्याओ n1 तथा n2 का औसत होगा :-
औसत =
n1a1 + n2a2 / n1 + n2

सूत्र/नियम -17. यदि A, P से Q तक x किमी./घंटा की चाल से जाता है तथा Q से P तक y किमी./घंटा की चाल से वापस आता है , तो पूरी यात्रा में औसत चाल क्या है ?
औसत चाल =
2xy / x + y
या
कुल दूरी / कुल समय

सूत्र/नियम -18. यदि एक दूरी को तीन विभिन्न चालों क्रमश: a किमी./घंटा b किमी./घंटा तथा c किमी./घंटा द्वारा तय किया जाता है , तो कुल यात्रा की औसत चाल क्या है ?
औसत चाल =
3abc / ab + bc + ca
किमी./घंटा

सूत्र/नियम -19. यदि 'm' संख्याओ का औसत x है तथा इनमे से 'n' संख्याओ का औसत y है (या इसका उल्टा) तो शेष संख्याओ का औसत होगा -
शेष संख्याओ का औसत =
mx - ny / m - n
(यदि m > n)
शेष संख्याओ का औसत =
ny - mx / n - m
(यदि n > m)

सूत्र/नियम -20. तीन संख्याओ में से , पहली संख्या , दूसरी संख्या की 'a' गुनी है , दूसरी संख्या , तीसरी संख्या की 'b' गुनी है तथा सभी तीनो संख्याओ का औसत x है तो
पहली संख्या =
3ab / 1 + b + ab
x
दूसरी संख्या = [
3b / 1 + b + ab
x]x
तीसरी संख्या = [
3 / 1 + b + ab
]x

सूत्र/नियम -21. (n+1) संख्याओ में से पहली n संख्याओ का औसत 'F' है तथा अंतिम n संख्याओ का औसत 'L' है | पहली संख्या 'ƒ' है तथा अंतिम संख्या 'l' है तो
ƒ - l = n(F - L)

सूत्र/नियम -22. 't' वर्ष पहले , परिवार के 'N' सदस्यों की आयु का औसत 'T' वर्ष था | यदि इस दौरान 'n' बच्चे परिवार में जन्म लेते है तो भी औसत (वर्तमान) समान रहता है तो
n बच्चों का वर्तमान आयु = n x T - N x t

सूत्र/नियम -23. N व्यक्तियों के समूह में 'T' वर्ष आयु के एक व्यक्ति के स्थान पर नए व्यक्ति आ जाते है तो आयु का औसत 't' वर्ष बढ़ जाता है , तब
नए व्यक्ति का आयु = T + N x t :- यदि आयु का औसत 't' वर्ष घट जाता है , तो नए व्यक्ति की आयु = T - N x t

सूत्र/नियम -24. N विद्यार्थियों के एक समूह की आयु का औसत 'T' वर्ष है | यदि 'n' विद्यार्थी और इस समूह में आ गए तो समूह की औसत आयु 't' वर्ष बढ़ गयी , तो
नए विद्यार्थियों की औसत आयु = T + [
N / n
+ 1 ] t
यदि नए विद्यार्थियों के आने से समूह की औसत आयु 't' वर्ष घट जाता है , तो
नए विद्यार्थियों की औसत आयु = T - [
N / n
+ 1 ] t

सूत्र/नियम -25. 'n' राशियों का औसत 'x' है यदि इनमे से प्रथम 'm' राशियों का औसत 'y' है तथा अंतिम 'm' राशियों का औसत 'z' है तो m वीं राशि = m(y + z) - nx
(m + 1) वां राशि = nx - m(y + z)

सूत्र/नियम -26. 'n' व्यक्तियों का औसत आयु ( या ऊँचाई ) 'x' वर्ष है तथा इसमें से 'm' व्यक्ति चले गए , जिनकी औसत आयु ( या ऊँचाई ) 'y' वर्ष थी और इतनी ही संख्या में नए व्यक्ति आ गए , जिनकी औसत आयु ( या ऊँचाई ) 'z' वर्ष है | अब 'n' व्यक्तियों को नयी औसत आयु ( या ऊँचाई ) क्या होगा ?
औसत आयु ( ऊँचाई) = [ x -
m(y - z) / n
] वर्ष (या सेमी. )

सूत्र/नियम -27. गेंदबाज का औसत =
कुल रनों की संख्या / विकेटों की संख्या

कुल रनों की संख्या = औसत ( A ) x y , जहाँ y = विकेटों की संख्या

सूत्र/नियम -28. यदि किसी समूह में , एक नया सदस्य किसी सदस्य का स्थान लेता है , तो नये व्यक्ति (सदस्य) की उम्र = (प्रतिस्थापित सदस्य) + xn
जहाँ, x = वृद्धि(+) या कमी(-) (औसत में कमी /वृद्धि) तथा n = सदस्यों की संख्या

सूत्र/नियम -29. यदि एक नया सदस्य समूह में जोड़ा जाता है , तो नये सदस्य की आयु ( या आय ) = औसत + x(n+1)
जहाँ x = औसत आयु ( या आय) में वृद्धि (+) या कमी(-) n = सदस्यों की संख्या

सूत्र/नियम -30. यदि एक सदस्य समूह छोड़ता है , तो छोड़े हुए सदस्य की आयु ( या आय ) = औसत + x(n-1)
जहाँ x = औसत आयु ( या आय) में वृद्धि (+) या कमी(-) n = सदस्यों की संख्या

सूत्र/नियम -31. प्रथम n पूर्ण संख्याओ का औसत =
n / 2

सूत्र/नियम -32. प्रथम n सम संख्याओ के वर्गो का औसत =
2(n+1)(2n+1) / 3

सूत्र/नियम -33. प्रथम n विषम संख्याओ के वर्गो का औसत =
n(n+2) / 3

सूत्र/नियम -34. यदि दो क्रमागत पदों या संख्याओ का अंतर समान हो तो
औसत =
प्रथम संख्या + अंतिम संख्या / 2

सूत्र/नियम -35. यदि दिए गए आंकड़ो में किसी संख्या m का गुणा किया जाए तो उन आंकड़ो के औसत में भी m का गुणा किया जाएगा

सूत्र/नियम -36. यदि दिए गए आंकड़ो में किसी संख्या m का भाग किया जाए तो उन आंकड़ो के औसत में भी m का भाग किया जाएगा

सूत्र/नियम -37. यदि दिए गए सभी आंकड़ो या राशियों में x की वृद्धि की जाए तो उनके औसत में भी x की वृद्धि होती है

सूत्र/नियम -38. यदि दिए गए सभी आंकड़ो या राशियों में x की कमी की जाए तो उनके औसत में भी x की कमी होती है

सूत्र/नियम -39. 1 से n तक की सम संख्याओ का औसत =
n + 2 / 2

सूत्र/नियम -40. 1 से n तक की विषम संख्याओ का औसत =
n + 1 / 2

औसत के सभी सूत्रों को डाउनलोड करें

त्रिकोणमिति (Trigonometry) के सूत्र :-

(1) sinA =
लम्ब / कर्ण
(2) cosA =
आधार / कर्ण
(3) tanA =
लम्ब / आधार
(4) cotA =
आधार / लम्ब
(5) secA =
कर्ण / आधार
(6) cosecA =
कर्ण / लम्ब
(7) sinA =
1 / cosecA
(8) cosA =
1 / secA
(9) tanA =
1 / cotA
(10) cotA =
1 / tanA
(11) secA =
1 / cosA
(12) cosecA =
1 / sinA
(13) tanA =
sinA / CosA
(14) cotA =
cosA / sinA
(15) sinA x cosecA = 1
(16) cosA x secA = 1
(17) tanA x cotA = 1
(18) sin2A + cos2A = 1
(19) sec2A - tan2A = 1
(20) cosec2A - cot2A = 1

त्रिकोणमिति (Trigonometry) के कोणों की माप के सूत्र

(1) रेडियन माप =
π / 180
x डिग्री माप
(2) डिग्री माप =
180 / π
x रेडियन माप

त्रिकोणमिति (Trigonometry) के मूलभूत सूत्र

(1) sin2x + cos2x = 1
(2) 1 + tan2x = sec2x
(3) 1 + cot2x = cosec2x

(4) cos(2πn + θ) = cosθ
(5) sin(2πn + θ) = sinθ
(6) sin(-θ) = -sinθ
(7) cos(-θ) = cosθ

दो कोणों के योग के त्रिकोणमिति ( Trigonometry ) अनुपात

(1) sin(A + B) = sinA.cosB + cosA.sinB

(2) cos(A + B) = cosA.cosB - sinA.sinB

(3) tan(A + B) =
tanA + tanB / 1 - tanA.tanB
(4) cot(A + B) =
cotA.cotB - 1 / cotB + cotA

More Trigonometry Formula

A. (1) sin(
π / 2
+ A) = cosA
(2) cos(
π / 2
+ A) = -sinA
(3) tan(
π / 2
+ A) = -cotA
(4) cot(
π / 2
+ A) = -tanA
(5) sec(
π / 2
+ A) = -cosecA
(6) cosec(
π / 2
+ A) = secA

(B) (1) sin(π + A) = -sinA (2) cos(π + A) = -cosA (3) tan(π + A) = tanA (4) cot(π + A) = cotA (5) sec(π + A) = -secA (6) cosec(π + A) = -cosecA

(C) (1) sin(
/ 2
+ A) = -cosA
(2) cos(
/ 2
+ A) = sinA
(3) tan(
/ 2
+ A) = -cotA
(4) cot(
/ 2
+ A) = -tanA
(5) sec(
/ 2
+ A) = cosecA
(6) cosec(
/ 2
+ A) = -secA

(D) (1) sin(2π + A) = sinA (2) cos(2π + A) = cosA (3) tan(2π + A) = tanA (4) cot(2π + A) = cotA (5) sec(2π + A) = secA (6) cosec(2π + A) = cosecA

दो कोणों के अंतर के त्रिकोणमिति(Trigonometry) अनुपात

(1) sin(A - B) = sinA.cosB - cosA.sinB

(2) cos(A - B) = cosA.cosB + sinA.sinB

(3) tan(A - B) =
tanA - tanB / 1 + tanA.tanB
(4) cot(A - B) =
cotA.cotB + 1 / cotB - cotA

More Trigonometry Formula

A. (1) sin(
π / 2
- A) = cosA
(2) cos(
π / 2
- A) = sinA
(3) tan(
π / 2
- A) = cotA
(4) cot(
π / 2
- A) = tanA
(5) sec(
π / 2
- A) = cosecA
(6) cosec(
π / 2
- A) = secA

(B) (1) sin(π - A) = sinA (2) cos(π - A) = -cosA (3) tan(π - A) = -tanA (4) cot(π - A) = -cotA (5) sec(π - A) = -secA (6) cosec(π - A) = -cosecA

(C) (1) sin(
/ 2
- A) = -cosA
(2) cos(
/ 2
- A) = -sinA
(3) tan(
/ 2
- A) = cotA
(4) cot(
/ 2
- A) = tanA
(5) sec(
/ 2
- A) = -cosecA
(6) cosec(
/ 2
- A) = -secA

(D) (1) sin(2π - A) = -sinA (2) cos(2π - A) = cosA (3) tan(2π - A) = -tanA (4) cot(2π - A) = -cotA (5) sec(2π - A) = secA (6) cosec(2π - A) = -cosecA

Two Formulas of Trigonometry

(1) sin(A + B) sin(A - B) = sin2A - sin2B (2) cos(A + B) cos(A - B) = cos2A - sin2B

कोण 2A के त्रिकोणमितीय ( Trigonometry ) अनुपातों को कोण A के पदों में व्यक्त करना

(1) sin2A = 2sinA.cosB (2) cos2A = cos2A - sin2A = 2cos2A - 1 = 1 - 2 sin2A

(3) tan2A =
2tanA / 1 - tan2A
(4) sin2A =
2tanA / 1 + tan2A
(5) cos2A =
1 - tan2A / 1 + tan2A

कोण 3A के त्रिकोणमितीय (Trigonometry) अनुपातों को कोण A के पदों में व्यक्त करना

(1) sin3A = 3sinA - 4sin3A (2) cos3A = 4cos3A - 3cosA

(3) tan3A =
3tanA - tan3A / 1 - 3tan2A

गुणनफल का योग या अंतर में रूपांतर

(1) 2sinA.cosB = sin(A + B) + sin(A - B) (2) 2cosA.sinB = sin(A + B) - sin(A - B) (3) 2cosA.cosB = cos(A + B) + cos(A - B) (4) 2sinA.sinB = cos(A - B) - cos(A + B)

योग तथा अंतर गुणनफल में रूपांतर

(1) sinC + sinD = 2 sin
C + D / 2
cos
C - D / 2
(2) sinC - sinD = 2 cos
C + D / 2
sin
C - D / 2
(3) cosC + cosD = 2 cos
C + D / 2
cos
C - D / 2
(4) cosC - cosD = 2 sin
C + D / 2
sin
D - C / 2

सरल त्रिकोणमितीय (Trigonometry) समीकरण का व्यापक हल

(1) यदि sinθ = 0, तो इसका व्यापक हल θ = nπ होगा , जहाँ n शून्य अथवा कोई धनात्मक या ऋणात्मक पूर्णांक है अर्थात् n ∈ I

(2) यदि cosθ = 0, तो इसका व्यापक हल θ = (2n + 1)π/2 होगा , जहाँ n शून्य अथवा कोई धनात्मक या ऋणात्मक पूर्णांक है अर्थात् n ∈ I

(3) यदि tanθ = 0, तो इसका व्यापक हल θ = nπ होगा , जहाँ n शून्य अथवा कोई धनात्मक या ऋणात्मक पूर्णांक है अर्थात् n ∈ I

त्रिकोणमितीय (Trigonometry) समीकरणों का व्यापक हल

(1) यदि sinθ = sinα तब इसका व्यापक हल
θ = nπ + (-1)n α ∀ n ∈ I
(2) यदि cosθ = cosα तब इसका व्यापक हल
θ = 2nπ + α, ∀ n ∈ I
(3) यदि tanθ = tanα तब इसका व्यापक हल
θ = nπ + α, ∀ n ∈ I

त्रिकोणमिति (Trigonometry) के सभी सूत्रों को डाउनलोड करें

प्रतिशतता के नियम , सूत्र :-

नियम - 1 :

यदि x को x0 तक कम किया जाए , तो

कम % =
x - x0 / x

नियम - 2 :

यदि x को x1 तक कम किया जाए , तो

वृद्धि % =
x1 - x / x

नियम - 3 :

यदि एक राशि a% बढाई जाती है और फिर a% घटायी जाती है , तो प्रतिशत में बदलाव (कमी) होगी

a2 / 100
%

नियम - 4 :

यदि एक संख्या पहले a% बढ़ाया जाता है , फिर इसे b% घटाया जाता है , तो प्रतिशत बदलाव होगा -

(a - b -
ab / 100
)%
( ऋणात्मक (-) चिन्ह कमी का तथा धनात्मक (+) चिन्ह बढ़ने का होगा )

नियम - 5 :

यदि एक संख्या a% घटायी जाए और फिर इसे b% बढ़ाया जाए तो , कुल वृद्धि / कमी प्रतिशत होगा -

(-a + b -
ab / 100
)%
( ऋणात्मक (-) चिन्ह कमी का तथा धनात्मक (+) चिन्ह बढ़ने का होगा )

नियम - 6 :

यदि एक संख्या पहले a% घटायी जाती है फिर b% घटायी जाती है , तो कुल कितना प्रतिशत घटाया जाता है ?

अभीष्ट कमी % = ( - a - b +
ab / 100
)%
( ऋणात्मक (-) चिन्ह कमी को बताता है )

नियम - 7 :

यदि एक संख्या को पहले a% बढ़ाया जाता है , फिर b% बढ़ाया जाता है , तो संख्या कुल कितना प्रतिशत बढ़ती है ?

बढ़ा % = ( a + b +
ab / 100
)%

नियम - 8 :

किसी वस्तु की कीमत A% बढ़ती है , तो वस्तु की खपत में कितने प्रतिशत की कमी करनी चाहिए कि खर्च में कोई बदलाव न हों ?
या
यदि किसी व्यक्ति A की आय किसी अन्य व्यक्ति B की आय से A% अधिक है , तो दूसरे की आय , पहले व्यक्ति की आय से कितना प्रतिशत कम है

अभीष्ट प्रतिशत = (
A / (100 + A)
x 100 )

नियम - 9 :

यदि किसी वस्तु की कीमत A% घटती है , तो वस्तु की खपत में कितने प्रतिशत की वृद्धि करें कि खर्च वही रहे ? या यदि x , y से A% कम है , तो , y , x से कितना प्रतिशत अधिक है ?

वृद्धि / ज्यादा % = (
A / (100 - A)
x 100 )%[वृद्धि]

नियम - 10 :

यदि किसी आयत की लम्बाई को a% बढ़ाया जाए तथा इसकी चौड़ाई को b% बढ़ाया जाए तो , इसका क्षेत्रफल कितने प्रतिशत बढ़ जाएगा ?

अभीष्ट वृद्धि % = ( a + b +
ab / 100
)%
नोट : यदि भुजा बढ़ती है तो धनात्मक चिन्ह लेंगे तथा भुजा घटती है तो ऋणात्मक चिन्ह लेंगे | यह सूत्र द्विमीय आकृतियों के लिए है |

नियम - 11 :

यदि किसी वर्ग के प्रत्येक भुजा a% बढ़ायी जाती है , तो उस वर्ग का क्षेत्रफल कितने प्रतिशत बढ़ जाएगा ?

अभीष्ट वृद्धि % = ( a + a +
a x a / 100
)%
या ( 2a +
a2 / 100
)%
नोट : यदि सूत्र वृत्त के लिए भी प्रयोग किया जाता है , जहाँ भुजा की जगह इसकी त्रिज्या रखी जाती है | ऋणात्मक चिन्ह कमी को तथा धनात्मक चिन्ह वृद्धि को सूचित करता है

नियम - 12 :

यदि किसी वर्ग की प्रत्येक भुजा a% घटाया जाए तो , इसका क्षेत्रफल कितने प्रतिशत घट जाएगा

कमी % = - ( 2a +
a2 / 100
)%
यह सूत्र वृत्त के लिए भी प्रयोग होगा जहाँ उसकी त्रिज्या में प्रतिशत कमी दी होगी

नियम - 13 :

यदि किसी घनाभ की लम्बाई , चौड़ाई तथा ऊँचाई में क्रमशः a% , b% तथा c% की वृद्धि की जाए तो इसके आयतन में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी ?

वृद्धि % [ a + b + c +
ab + bc + ca / 100
+
abc / (100)2
]%

नियम - 14 :

यदि किसी घन की प्रत्येक भुजा को a% बढ़ाया जाए तो इसके आयतन में प्रतिशत वृद्धि होगी

वृद्धि % [ 3a +
3a2 / 100
+
a3 / (100)2
]%

नियम - 15 :

यदि किसी राशि का a% पहला व्यक्ति लेता है , फिर बचे हुए राशि का b% दूसरा व्यक्ति लेता है तथा शेष राशि का c% तीसरा व्यक्ति लेता है तथा अंत में "z" राशि बचता है , तो प्रारम्भिक राशि थी

प्रारम्भिक राशि =
100 x 100 x 100 z / (100-a)(100-b)(100-c)

नियम - 16 :

यदि एक राशि a% बढ़ती है , फिर b% बढ़ती है और आगे c% बढ़ती है , तो अंत में राशि "z" रुपए हो जाती है , तो

प्रारम्भिक राशि =
100 x 100 x 100 z / (100+a)(100+b)(100+c)

नियम - 17 :

यदि किसी शहर / वस्तु का/की जनसंख्या/कीमत P है तथा प्रतिवर्ष यह r% की दर से बढ़ती है , तो

"t" वर्ष बाद जनसंख्या/कीमत = P [ 1 +
r / 100
]t
"t" वर्ष बाद जनसंख्या/कीमत = P / [ 1 +
r / 100
]t

नियम - 18 :

यदि किसी शहर / वस्तु का/की जनसंख्या/कीमत P है तथा प्रतिवर्ष यह r% की दर से घटती है , तो

"t" वर्ष बाद जनसंख्या/कीमत = P [ 1 -
r / 100
]t
"t" वर्ष बाद जनसंख्या/कीमत = P / [ 1 -
r / 100
]t

नियम - 19 :

किसी वस्तु की कीमत x% बढ़ने/घटने पर कोई व्यक्ति रु "y" में "a" किलो ग्राम वस्तु कम/ज्यादा खरीद सकता है तो

बढ़ा / घटा मूल्य ( वस्तु का ) = [
xy / 100 x a
]
तथा
प्रारम्भिक कीमत =
xy / (100 + x)a

( ऋणात्मक (-) चिन्ह कमी का तथा धनात्मक (+) चिन्ह बढ़ने का होगा )

नियम - 20 :

यदि एक व्यक्ति भोजन पर x% , कपड़े पर y% तथा मनोरंजन पर z% खर्च करने के बाद अपनी आय में से "R" रुपए बचा लेता है , तो

मासिक आय =
100 / 100 - (x + y + z)
x R

नियम - 21 :

"M" लीटर मिश्रण में x% अम्ल/दूध है इस मिश्रण में कितना पानी मिलाया जाए की मिश्रण में अम्ल/दूध की मात्रा y% हो जाए ?

पानी की मात्रा =
M(x-y) / y

नियम - 22 :

एक परीक्षार्थी परीक्षा में m% अंक लाता है तथा p अंको से अनुत्तीर्ण हो जाता है इस परीक्षा में एक और परीक्षार्थी n% अंक लाता है तथा न्यूनतम से q ज्यादा अंक से उत्तीर्ण करता है , तो

पूर्णांक =
100 / n - m
x ( p + q )

नियम - 23 :

किसी परीक्षा में a% विद्यार्थी गणित में तथा b% विद्यार्थी अंग्रेजी में अनुत्तीर्ण होते है यदि c% विद्यार्थी दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण है तो
1. दोनों विषयों में उत्तीर्ण विद्यार्थियों की संख्या = 100 - (a+b-c)%
2. किसी भी एक विषय में फेल होने वाले व्यक्तियों का प्रतिशत = (a+b-c)%

नियम - 24 :

किसी परीक्षा में , उत्तीर्णांक a% है यदि कोई विद्यार्थी "b" अंक लाता है वह "c" अंको से अनुत्तीर्ण हो जाता है

कुल अंक =
100 (b+c) / a

नियम - 25 :

किसी परीक्षा में "B" लडकों तथा "G" लड़कियों ने भाग लिया | b% लड़के तथा g% लड़कियां इस परीक्षा में उत्तीर्ण हुए , तो कुल विद्यार्थियों में उत्तीर्ण हुए विद्यार्थियों का प्रतिशत

= [
B x b + G x g / B + G
]%

नियम - 26 :

यदि एक उम्मीदवार को चुनाव में A% वोट मिले तथा वह z वोट से जीत या हार गया तो , उस चुनाव में कुल कितने वोट पड़े ?

कुल वोटों की संख्या = [
50 z / 50 - A
]

नियम - 27 :

यदि किसी संख्या "a" को b% बढ़ाया या घटाया जाता है तो नई प्राप्त संख्या होगी

[
100 + b / 100
] x a

नियम - 28 :

यदि किसी शहर की जनसंख्या P है तथा जनसंख्या R1% , R2% तथा R3% की दर से पहले , दूसरे और तीसरे वर्ष में बढ़ती/घटती है तो , शहर की जनसंख्या 3 वर्ष बाद होगी |

[ 1 +
R1 / 100
] [ 1 +
R2 / 100
] [ 1 +
R3 / 100
]

"+" का इस्तेमाल जनसंख्या बढ़ने पर होगा
"-" का इस्तेमाल जनसंख्या घटने पर होगा
इस सूत्र को "n" वर्षो के लिए भी लिखा जा सकता है , इस प्रकार जनसंख्या "n" वर्षो के बाद

P [ 1 +
R1 / 100
] [ 1 +
R2 / 100
] ..... [ 1 +
Rn / 100
]
प्रतिशतता के नियम , सूत्र के सभी सूत्रों को डाउनलोड करें

अवकलन के सूत्र :-

d / d𝓍
(K) = 0, (K अचर है )

d / d𝓍
[
1 / 𝓍
] =
-1 / 𝓍2

d / d𝓍
|𝓍| =
|𝓍| / 𝓍

d / d𝓍
[
𝓍n+1 / n+1
] = 𝓍n, n ≠ -1

d / d𝓍
K.ƒ(𝓍) = K
d / d𝓍
ƒ(𝓍) ( जहाँ K अचर है )

d 𝓍 n / d𝓍
= n 𝓍 n-1

d (Sin𝓍) / d𝓍
= Cos𝓍

d (Cos𝓍) / d𝓍
= - Sin𝓍

d (Tan𝓍) / d𝓍
= Sec 2𝓍

d (Cot𝓍) / d𝓍
= - Cosec 2𝓍

d (Sec𝓍) / d𝓍
= Sec𝓍 ∙ Tan𝓍

d (Cosec𝓍) / d𝓍
= - Cosec𝓍 ∙ Cot𝓍

d (Sin h𝓍) / d𝓍
= Cos h𝓍

d (Cos h𝓍) / d𝓍
= Sin h𝓍

d (Tan h𝓍) / d𝓍
= Sec h2𝓍

d (Cot h𝓍) / d𝓍
= -Cosec h2𝓍

d (Sec h𝓍) / d𝓍
= -Sec h𝓍 ∙ Tan h𝓍

d (Cosec h𝓍) / d𝓍
= - Cosec h𝓍 ∙ Cot h𝓍

d (Sin - 1𝓍) / d𝓍
=
1 / 1 - 𝓍 2

d (Cos - 1𝓍) / d𝓍
=
- 1 / 1 - 𝓍 2

d (Tan - 1𝓍) / d𝓍
=
1 / 1 + 𝓍 2

d (Cot - 1𝓍) / d𝓍
=
- 1 / 1 + 𝓍 2

d (Sec - 1𝓍) / d𝓍
=
1 / 𝓍𝓍 2 - 1

d (Cosec - 1𝓍) / d𝓍
=
- 1 / 𝓍𝓍 2 - 1

d e 𝓍 / d𝓍
= e 𝓍

d e - 𝓍 / d𝓍
= - e -𝓍

d log 𝓍 / d𝓍
=
1 / 𝓍

d a 𝓍 / d𝓍
= a 𝓍 log𝓍

d 𝓍 / d𝓍
=
1 / 2 𝓍

d / d𝓍
Sin - 1(
𝓍 / a
)=
1 / a2 - 𝓍 2

d / d𝓍
Cos - 1(
𝓍 / a
) =
- 1 / a2 - 𝓍 2

d / d𝓍
Tan - 1(
𝓍 / a
) =
a / a2 + 𝓍 2

d / d𝓍
Cot - 1(
𝓍 / a
) =
- a / a2 + 𝓍 2

d / d𝓍
Sec - 1(
𝓍 / a
) =
a / 𝓍𝓍 2 - a2

d / d𝓍
Cosec - 1(
𝓍 / a
) =
- a / 𝓍𝓍 2 - a2

d / d𝓍
[ ƒ(𝓍) + g(𝓍) ] =
d / d𝓍
ƒ(𝓍) +
d / d𝓍
g(𝓍)

d / d𝓍
[ ƒ(𝓍) - g(𝓍) ] =
d / d𝓍
ƒ(𝓍) -
d / d𝓍
g(𝓍)

d / d𝓍
[ ƒ(𝓍) + g(𝓍) + v(𝓍) ] =
d / d𝓍
ƒ(𝓍) +
d / d𝓍
g(𝓍) +
d / d𝓍
v(𝓍)

d / d𝓍
[ ƒ(𝓍) ∙ g(𝓍) ] = ƒ(𝓍)
d / d𝓍
g(𝓍) + g(𝓍)
d / d𝓍
ƒ(𝓍)

दो फलनों के भागफल का अवकलज =
हर x (अंश का अवकलज) - अंश x (हर का अवकलज) / हर2
d / d𝓍
[
ƒ(𝓍) / g(𝓍)
] =
g(𝓍) ∙ d ƒ(𝓍) /d𝓍 - ƒ(𝓍) ∙ d g(𝓍) /d𝓍 / [g(𝓍)]2

यदि y = uv
तब
dy / d𝓍
= uv[
v / u
du / d𝓍
+ (log u)
dv / d𝓍
]

यदि 𝓍 = ƒ(t) , y = Φ(t) हो तो हम प्राचल को बिना विलोपित किए ,
dy / d𝓍
का मान निम्न सूत्र से ज्ञात कर सकते है
dy / d𝓍
=
dy / dt / d𝓍 / dt
=
प्राचल t के सापेक्ष y का अवकलज / प्राचल t के सापेक्ष 𝓍 का अवकलज

यदि y = ƒ(u), u = Φ(v) , v = Ψ(w) तथा w = F(𝓍)
dy / d𝓍
=
dy / du
.
du / dv
.
dv / dw
.
dw / d𝓍
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