अवकलन के सूत्र तथा सीमा एवं सांतत्य की परिभाषा,सूत्र एवं प्रमेय

avkalan(Differentiation/Derivatives) ke sutra tatha sima,saantaty(Limits and Continuity) ki paribhasha,sutra evm pramey

अवकलन के सभी सूत्र ( Differentiation/Derivatives All sutra):-

✹

d / d𝓍

(K) = 0, (K अचर है )

✹

d / d𝓍

[

1 / 𝓍

] =

-1 / 𝓍²

✹

d / d𝓍

|𝓍| =

|𝓍| / 𝓍

✹

d / d𝓍

[

𝓍ⁿ⁺¹ / n+1

] = 𝓍ⁿ, n ≠ -1

✹

d / d𝓍

K.ƒ(𝓍) = K

d / d𝓍

ƒ(𝓍) ( जहाँ K अचर है )

✹

d 𝓍 ⁿ / d𝓍

= n 𝓍 ^n-1

✹

d (Sin𝓍) / d𝓍

= Cos𝓍

✹

d (Cos𝓍) / d𝓍

= - Sin𝓍

✹

d (Tan𝓍) / d𝓍

= Sec ²𝓍

✹

d (Cot𝓍) / d𝓍

= - Cosec ²𝓍

✹

d (Sec𝓍) / d𝓍

= Sec𝓍 ∙ Tan𝓍

✹

d (Cosec𝓍) / d𝓍

= - Cosec𝓍 ∙ Cot𝓍

✹

d (Sin h𝓍) / d𝓍

= Cos h𝓍

✹

d (Cos h𝓍) / d𝓍

= Sin h𝓍

✹

d (Tan h𝓍) / d𝓍

= Sec h²𝓍

✹

d (Cot h𝓍) / d𝓍

= -Cosec h²𝓍

✹

d (Sec h𝓍) / d𝓍

= -Sec h𝓍 ∙ Tan h𝓍

✹

d (Cosec h𝓍) / d𝓍

= - Cosec h𝓍 ∙ Cot h𝓍

✹

d (Sin ^{- 1}𝓍) / d𝓍

1 / √1 - 𝓍 ²

✹

d (Cos ^{- 1}𝓍) / d𝓍

- 1 / √1 - 𝓍 ²

✹

d (Tan ^{- 1}𝓍) / d𝓍

1 / 1 + 𝓍 ²

✹

d (Cot ^{- 1}𝓍) / d𝓍

- 1 / 1 + 𝓍 ²

✹

d (Sec ^{- 1}𝓍) / d𝓍

1 / 𝓍√𝓍 ² - 1

✹

d (Cosec ^{- 1}𝓍) / d𝓍

- 1 / 𝓍√𝓍 ² - 1

✹

d e ^𝓍 / d𝓍

= e ^𝓍

✹

d e ^{- 𝓍} / d𝓍

= - e ^-𝓍

✹

d log 𝓍 / d𝓍

1 / 𝓍

✹

d a ^𝓍 / d𝓍

= a ^𝓍 log𝓍

✹

d √𝓍 / d𝓍

1 / 2 √𝓍

✹

d / d𝓍

Sin ^{- 1}(

𝓍 / a

1 / √a² - 𝓍 ²

✹

d / d𝓍

Cos ^{- 1}(

𝓍 / a

) =

- 1 / √a² - 𝓍 ²

✹

d / d𝓍

Tan ^{- 1}(

𝓍 / a

) =

a / a² + 𝓍 ²

✹

d / d𝓍

Cot ^{- 1}(

𝓍 / a

) =

- a / a² + 𝓍 ²

✹

d / d𝓍

Sec ^{- 1}(

𝓍 / a

) =

a / 𝓍√𝓍 ² - a²

✹

d / d𝓍

Cosec ^{- 1}(

𝓍 / a

) =

- a / 𝓍√𝓍 ² - a²

✹

d / d𝓍

[ ƒ(𝓍) + g(𝓍) ] =

d / d𝓍

ƒ(𝓍) +

d / d𝓍

g(𝓍)

✹

d / d𝓍

[ ƒ(𝓍) - g(𝓍) ] =

d / d𝓍

ƒ(𝓍) -

d / d𝓍

g(𝓍)

✹

d / d𝓍

[ ƒ(𝓍) + g(𝓍) + v(𝓍) ] =

d / d𝓍

ƒ(𝓍) +

d / d𝓍

g(𝓍) +

d / d𝓍

v(𝓍)

✹

d / d𝓍

[ ƒ(𝓍) ∙ g(𝓍) ] = ƒ(𝓍)

d / d𝓍

g(𝓍) + g(𝓍)

d / d𝓍

ƒ(𝓍)

✹ दो फलनों के भागफल का अवकलज =

हर x (अंश का अवकलज) - अंश x (हर का अवकलज) / हर²

d / d𝓍

[

ƒ(𝓍) / g(𝓍)

] =

g(𝓍) ∙ d ƒ(𝓍) /d𝓍 - ƒ(𝓍) ∙ d g(𝓍) /d𝓍 / [g(𝓍)]²

✹ यदि y = u^v
तब

dy / d𝓍

= u^v[

v / u

du / d𝓍

+ (log u)

dv / d𝓍

]

✹ यदि 𝓍 = ƒ(t) , y = Φ(t) हो तो हम प्राचल को बिना विलोपित किए ,

dy / d𝓍

का मान निम्न सूत्र से ज्ञात कर सकते है

dy / d𝓍

dy / dt / d𝓍 / dt

प्राचल t के सापेक्ष y का अवकलज / प्राचल t के सापेक्ष 𝓍 का अवकलज

✹ यदि y = ƒ(u), u = Φ(v) , v = Ψ(w) तथा w = F(𝓍)

dy / d𝓍

dy / du

du / dv

dv / dw

dw / d𝓍

सीमा (Limits)

फलन की सीमा की परिभाषा ( Definition of limit of a function ) :-

माना फलन y = ƒ(𝓍) , 𝓍 = a पर अपरिभाषित या परिभाषित है लेकिन 𝓍 = a के दायें तथा बायें परिवेश में फलन ƒ(𝓍) परिभाषित है , तो वास्तविक संख्या ℓ फलन ƒ की सीमा कहलाती है जब 𝓍 का मान a की ओर बढता हो यदि केवल और केवल यदि स्वेच्छ धनात्मक संख्या ∈ के लिए धनात्मक संख्या δ का अस्तित्व इस प्रकार हो कि
| ƒ(𝓍) - ℓ | < ∈ जबकि 0 < | 𝓍 - a| < δ इसे संकेत रूप में निम्न प्रकार लिख सकते है -

lim𝓍 → a

ƒ(𝓍) = ℓ

दायीं सीमा (Right hand limit) :-

यदि 𝓍 दायीं ओर से a की ओर बढ़ता है तो ƒ की दायीं सीमा को निम्न प्रकार लिखते है

lim𝓍 → a⁺

ƒ(𝓍) अथवा ƒ(a + 0) दायीं सीमा ज्ञात करने के लिये हम फलन ƒ(𝓍) में 𝓍 = a + h रखकर h → 0 करते है अत: ƒ(a + 0) =

limh → 0

ƒ(a + h) , (h > 0)

बायीं सीमा (Left hand limit) :-

यदि 𝓍 बायीं ओर से a की ओर बढ़ता है तो ƒ की बायीं सीमा को निम्न प्रकार लिखते है

lim𝓍 → a^-

ƒ(𝓍) अथवा ƒ(a - 0) बायीं सीमा ज्ञात करने के लिये हम फलन ƒ(𝓍) में 𝓍 = a - h रखकर h → 0 करते है अत: ƒ(a - 0) =

limh → 0

ƒ(a - h) , (h > 0)

सीमा का अस्तित्त्व (Existence of limit) :-

lim𝓍 → a

ƒ(𝓍) का अस्तित्त्व होता है यदि और केवल यदि बायीं सीमा अर्थात्

lim𝓍 → a^-

ƒ(𝓍) और दायीं सीमा अर्थात्

lim𝓍 → a⁺

ƒ(𝓍) दोनों का अस्तित्त्व हो और ये दोनों बराबर हों अर्थात्

lim𝓍 → a

ƒ(𝓍) का अस्तित्त्व होगा - ƒ(a - 0) = ƒ(a + 0) यदि किसी फलन की किसी बिंदु पर सीमा का अस्तित्त्व हो तो दोनों ओर की सीमा निकालने की आवश्यकता नहीं होती , एक ओर की सीमा निकालने ही काफी है

सीमाओ पर प्रमेय ( Theorems on limits ) :-

माना ƒ व g दो वास्तविक फलन है जिनका प्रान्त D है तब नये फलन ƒ + g , ƒg,

ƒ / g

g ≠ 0 का प्रान्त भी D ही होगा

साथ ही (ƒ + g)(𝓍) = ƒ(𝓍) + g(𝓍) (ƒg)(𝓍) = ƒ(𝓍)∙g(𝓍)

[

ƒ / g

](𝓍) =

ƒ(𝓍) / g(𝓍)

, g(𝓍) ≠ 0

माना

lim𝓍 → a

ƒ(𝓍) = ℓ और

lim𝓍 → a

g(𝓍) = m यदि ℓ एवं m विधमान है तो

योग और अंतर नियम :-

lim𝓍 → a

(ƒ + g) =

lim𝓍 → a

ƒ(𝓍) +

lim𝓍 → a

g(𝓍) = ℓ + m

गुणन नियम :-

lim𝓍 → a

(ƒg)(𝓍) =

lim𝓍 → a

ƒ(𝓍) ∙

lim𝓍 → a

g(𝓍) = ℓ∙m

भिन्न नियम :-

lim𝓍 → a

[

ƒ / g

](𝓍) =

lim𝓍 → a

ƒ(𝓍) /

lim𝓍 → a

g(𝓍)

ℓ / m

; m ≠ 0

अचर नियम :-

यदि ƒ(𝓍) = k , जहाँ k अचर है

lim𝓍 → a

ƒ(𝓍) =

lim𝓍 → a

k = k

अचर गुणन नियम :-

lim𝓍 → a

kƒ(𝓍) = k

lim𝓍 → a

ƒ(𝓍) = k∙ℓ जहाँ k अचर है

मापांक नियम :-

lim𝓍 → a

|ƒ(𝓍)| = |

lim𝓍 → a

ƒ(𝓍)| = |ℓ|

घात नियम :-

lim𝓍 → a

[{ƒ(𝓍)}^g(𝓍)] = {

lim𝓍 → a

ƒ(𝓍) }^{lim𝓍 → a
g(𝓍)} = ℓ^m

विशेष स्थिति में :

(a)

lim𝓍 → a

logƒ(𝓍) = log{

lim𝓍 → a

ƒ(𝓍) } = log ℓ

(b)

lim𝓍 → a

^eƒ(𝓍) = ^e^{lim𝓍 → a
ƒ(𝓍)} = e^ℓ

(c)

lim𝓍 → a

ƒ(𝓍) = +∞ या -∞ तब

lim𝓍 → a

1 / ƒ(𝓍)

= 0

कुछ मानक सीमाएँ (Some standard limits) :-

1. यदि ƒ(𝓍) → 0 , जब 𝓍 → 0 तब

✹

limƒ(𝓍) → 0

Sin ƒ(𝓍) / ƒ(𝓍)

= 1

✹

limƒ(𝓍) → 0

Cos ƒ(𝓍) = 1

✹

limƒ(𝓍) → 0

Tan ƒ(𝓍) / ƒ(𝓍)

= 1

✹

limƒ(𝓍) → 0

e^ƒ(𝓍) - 1 / ƒ(𝓍)

= 1

✹

limƒ(𝓍) → 0

b^ƒ(𝓍) - 1 / ƒ(𝓍)

= log_eb (b ≠ 0)

✹

limƒ(𝓍) → 0

log_e [ 1 + ƒ(𝓍) ] / ƒ(𝓍)

= 1

✹

limƒ(𝓍) → 0

[ 1 + ƒ(𝓍) ]^1/ƒ(𝓍) = e

✹

limƒ(𝓍) → 0

ƒ(𝓍) = A तथा

limƒ(𝓍) → 0

Φ(𝓍) = B
तब

limƒ(𝓍) → 0

[ƒ(𝓍)]^Φ(𝓍) = A^B

2. दिये हुए परिणामों से -

✹

lim𝓍 → 0

Sin 𝓍 / 𝓍

= 1

✹

lim𝓍 → 0

Cos 𝓍 = 1

✹

lim𝓍 → 0

Tan 𝓍 / 𝓍

= 1

✹

lim𝓍 → 0

e^𝓍 - 1 / 𝓍

= 1

✹

lim𝓍 → 0

b^𝓍 - 1 / 𝓍

= log_eb (b ≠ 0)

✹

lim𝓍 → 0

log_e[ 1 + 𝓍 ] / 𝓍

= 1

✹

lim𝓍 → 0

[ 1 + 𝓍 ]^1/𝓍 = e

✹

lim𝓍 → ∞

[ 1 +

1 / 𝓍

]𝓍 = e

✹

lim𝓍 → a

𝓍^m - a^m / 𝓍 - a

= ma^m-1

✹

lim𝓍 → 0

𝓍^m - a^m / 𝓍ⁿ - aⁿ

m / n

a^m-n

प्रसार विधि ( Expansion method) :

यदि 𝓍 → 0 हो और व्यंजक में कम से कम एक प्रसार करने योग्य फलन हो तो उस फलन का प्रसार लिख कर व्यंजक को 𝓍 की बढती घातों में लिखते है इसके बाद अंश व हर में 𝓍 की उभयनिष्ठ घात का भाग देकर अनिर्धार्य रूप समाप्त करते है

कुछ मानक फलनों के प्रसार निम्न है :

✹ e^𝓍 = 1 + 𝓍 +

𝓍 ² / 2!

𝓍 ³ / 3!

+ ....

✹ e^-𝓍 = 1 - 𝓍 +

𝓍 ² / 2!

𝓍 ³ / 3!

+ ....

✹ a^𝓍 = 1 + (𝓍log_ea ) +

(𝓍log_ea )² / 2!

(𝓍log_ea )³ / 3!

+ ....

✹ log_e(1 + 𝓍 ) = 𝓍 -

𝓍 ² / 2

𝓍³ / 3

- ....

✹ log_e(1 - 𝓍 ) = - 𝓍 -

𝓍 ² / 2

𝓍³ / 3

- ....

✹ Sin 𝓍 = 𝓍 -

𝓍 ³ / 3!

𝓍⁵ / 5!

- ....

✹ Cos 𝓍 = 1 -

𝓍 ² / 2!

𝓍⁴ / 4!

- ....

✹ tan 𝓍 = 𝓍 +

𝓍 ³ / 3

2𝓍⁵ / 15

+ ....

✹ Sin h𝓍 = 𝓍 +

𝓍 ³ / 3!

𝓍⁵ / 5!

- ....

✹ Cos h𝓍 = 1 +

𝓍 ² / 2!

𝓍⁴ / 4!

- ....

✹ tan h𝓍 = 𝓍 -

𝓍 ³ / 3

2𝓍⁵ / 15

- ....

✹ (1 ± 𝓍 )ⁿ = 1 ± n𝓍 +

n(n-1) / 2!

𝓍² ± ....

✹ ( 1 +

1 / 𝓍

)𝓍 = e ( 1 +

𝓍 / 2

11 / 24

𝓍² + ...... )

✹ Σn = 1 + 2 + 3 + .... + n = n

(n+1) / 2

✹ Σn² = 1² + 2² + 3² + .... + n² = n

(n+1)(2n+1) / 6

✹ Σn³ = 1³ + 2³ + 3³ + .... + n³ = n

{n (n+1)}² / 4

सांतत्य (Continuity) :-

फलन का एक बिंदु पर सांतत्य ( Continuity at a point ) :-

फलन ƒ(𝓍) अपने प्रान्त के किसी एक बिंदु 𝓍 = a पर संतत कहलाता है
यदि

lim𝓍 → a

ƒ(𝓍) = ƒ(a) विधमान हो अर्थात् यदि

lim𝓍 → a - 0

ƒ(𝓍) =

lim𝓍 → a + 0

ƒ(𝓍) = ƒ(a)
अर्थात् यदि ƒ(a - 0) = ƒ(a + 0) = ƒ(a)
अर्थात् यदि a पर फलन की बायीं सीमा = a पर फलन की दायीं सीमा = a पर फलन का मान

अन्तराल में फलन का सांतत्य ( Continuity in an Interval ) :-

खुला अन्तराल :

एक फलन ƒ(𝓍) खुले अन्तराल (a,b) में संतत होगा यदि वह अन्तराल (a,b) के प्रत्येक बिंदु पर संतत हो

बंद अन्तराल :

एक फलन ƒ(𝓍) बंद अन्तराल [a,b] में संतत कहलाता है यदि वह
1. (a,b) में संतत हो
2. 𝓍 = a पर दायीं ओर से संतत हो
3. 𝓍 = b पर बायीं ओर से संतत हो

संतत फलन ( Continuous function )

यदि कोई फलन अपने प्रान्त के प्रत्येक बिंदु पर संतत है तो उसे संतत फलन कहते है

कुछ संतत फलनों के उदाहरण :

1. तत्समक फलन : ƒ(𝓍) = 𝓍
2. अचर फलन : ƒ(𝓍) = c
3. बहुपद फलन : ƒ(𝓍) = a₀𝓍ⁿ + a₁𝓍^n-1 + a₂𝓍^n-2 + a₃𝓍^n-3+ ........ + a_n
4. त्रिकोणमितीय फलन : ƒ(𝓍) = sin 𝓍 , cos 𝓍
5. चरघातांकी फलन : ƒ(𝓍) = a^𝓍 , a > 0
6. लघुगणकीय फलन : ƒ(𝓍) = log_e 𝓍
7. अतिपरवलय फलन : ƒ(𝓍) = sinh 𝓍 , cosh 𝓍 , tanh 𝓍
8. निरपेक्षमान फलन : ƒ(𝓍) = |𝓍| , 𝓍 + |𝓍| , 𝓍 - |𝓍| , 𝓍|𝓍|

संतत फलन के गुणधर्म ( Properties of continuous functions ) :-

यदि ƒ(𝓍) तथा g(𝓍) दो संतत फलन है तो
(a) 1. ƒ(𝓍) + g(𝓍) 2. ƒ(𝓍) - g(𝓍) 3. ƒ(𝓍) . g(𝓍) 4. cƒ(𝓍) जहाँ c अचर फलन है
भी संतत फलन होंगे

(b) यदि ƒ(𝓍) तथा g(𝓍) दो संतत फलन है तो

ƒ(𝓍) / g(𝓍)

उन बिन्दुओ पर संतत होगा जिन पर g(𝓍) ≠ 0