द्विघात समीकरण की परिभाषा,सूत्र,मानक रूप,हल करने की विधियाँ,मूल और महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी

इस लेख में हमारे द्वारा द्विघात समीकरण की परिभाषा,सूत्र,मानक रूप,हल करने की विधियाँ,मूल और महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी दिए गए है जो कक्षा 8 से 10 तथा 11 एवं 12 के लिए अतिमहत्वपूर्ण है | कक्षा 8 से 10 NCERT के लिए तो यह लेख बहुत ही फायदेमंद है | आप हमे नीचे comment करके बता सकते है कि आपको यह लेख कैसा लगा |

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द्विघात बहुपद क्या है / द्विघात बहुपद किसे कहते है ?

द्विघात बहुपद की परिभाषा के अनुसार , a𝓍² + b𝓍 + c , a ≠ 0 एक प्रकार का द्विघात बहुपद है |
जब हम इस बहुपद को शून्य के तुल्य ( बराबर ) कर देतें है , तो हमें द्विघात समीकरण प्राप्त हो जाती है |

द्विघात समीकरण क्या है / द्विघात समीकरण किसे कहते है ?

द्विघात समीकरण की परिभाषा के अनुसार , जब हम द्विघात बहुपद को शून्य के बराबर रख देते है तो प्राप्त समीकरण द्विघात समीकरण कहलाता है |
चर 𝓍 में a𝓍² + b𝓍 + c = 0 एक द्विघात समीकरण है |

द्विघात समीकरण का मानक रूप :-

चर 𝓍 में द्विघात समीकरण
a𝓍² + b𝓍 + c = 0
जहाँ a,b,c :- वास्तविक संख्याएं
तथा a ≠ 0
यही द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है |

द्विघात समीकरण की अधिकतम घात :-

द्विघात समीकरण की अधिकतम घात 2 होती है |
अर्थात् किसी भी चर में अधिकतम 2 घात का समीकरण द्विघात समीकरण कहलाता है |

द्विघात समीकरण के उदाहरण :-

a𝓍² + b𝓍 + c के रूप का प्रत्येक समीकरण द्विघात समीकरण होता है |
जैसे :- 2𝓍² + 𝓍 - 300 = 0
-3𝓍² + 4𝓍 + 2 = 0

द्विघात समीकरण की जाँच / द्विघात समीकरण की जाँच कैसे की जाती है ? :-

इसके लिए हम एक उदाहरण की सहायता लेते है -

जाँच कीजिए कि (𝓍 - 2)² + 1 = 2𝓍 - 3 एक द्विघात समीकरण है या नही ?

𝓍² - 4𝓍 + 4 + 1 = 2𝓍 - 3
𝓍² - 6𝓍 + 8 = 0
यह a𝓍² + b𝓍 + c = 0 के प्रकार का है |
अत: यह समीकरण एक द्विघात समीकरण है |

द्विघात समीकरण के हल ज्ञात करना / द्विघात समीकरण कैसे हल करें ? :-

द्विघात समीकरण के हल मुख्यतः तीन विधियों द्वारा ज्ञात किए जाते है जिनका उदाहरण सहित वर्णन निम्न प्रकार है -

1. गुणनखंडो द्वारा द्विघात समीकरण का हल

2. पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण का हल

3. द्विघात सूत्र द्वारा द्विघात समीकरण का हल

1. गुणनखंडो द्वारा द्विघात समीकरण का हल घात करना :-

द्विघात समीकरण के हल ज्ञात करने की इस विधि को हम एक उदाहरण की सहायता से समझेंगे |

द्विघात समीकरण 2𝓍² - 5𝓍 + 3 = 0 के मूल गुणनखंड विधि से ज्ञात कीजिए ?
2𝓍² - 2𝓍 - 3𝓍 + 3 = 0
2𝓍[𝓍 - 1] - 3[𝓍 - 1] = 0
(2𝓍 - 3)(𝓍 - 1) = 0

स्थिति - I :-

यदि 2𝓍 - 3 = 0
𝓍 = 3/2

स्थिति - II :-

यदि 𝓍 - 1 = 0
𝓍 = 1 अत: 1 और 3/2 द्विघात समीकरण 2𝓍² - 5𝓍 + 3 = 0 के दो हल ( मूल ) है |

2. पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण का हल :-

इसे भी हम उदाहरण की सहायता से समझेंगे |
द्विघात समीकरण 3𝓍² - 5𝓍 + 2 = 0 के मूल पूर्ण वर्ग विधि से ज्ञात कीजिए ?

चरण - I :-

सर्वप्रथम 𝓍² के गुणांक को पूर्ण वर्ग बनाएंगे |
3(3𝓍² - 5𝓍 + 2) = 3 x 0
9𝓍² - 15𝓍 + 6 = 0
(3𝓍)² - 15𝓍 + 6 = 0

चरण II :-

𝓍 के गुणांक को 2 से गुणा व 2 से भाग करेंगे

(3𝓍)² - 2[

15𝓍 / 2

] + 6 = 0

(3𝓍)² - 2[

3𝓍 x 5 / 2

] + 6 = 0

(3𝓍)² - 2 (3𝓍) (

5 / 2

) + 6 = 0

चरण-III :-

मध्य पद के अचर पद का वर्ग कर जोडनें व घटाने पर :-

(3𝓍)² - 2 (3𝓍) (

5 / 2

) + (

5 / 2

)2 - (

5 / 2

)2 + 6 = 0

( 3𝓍 -

5 / 2

)2 - (

5 / 2

)2 + 6 = 0

( 3𝓍 -

5 / 2

)2 -

25 / 4

+ 6 = 0

( 3𝓍 -

5 / 2

)2 =

25 / 4

- 6

( 3𝓍 -

5 / 2

)2 =

1 / 4

दोनों पक्षों का वर्गमूल करने पर

3𝓍 -

5 / 2

= +

1 / 2

स्थिति - I :-

यदि 3𝓍 -

5 / 2

1 / 2

3𝓍 = 3

𝓍 = 1

स्थिति - II :-

यदि 3𝓍 -

5 / 2

= -

1 / 2

3𝓍 = 2

𝓍 =

2 / 3

अत: द्विघात समीकरण के दो मूल 1 तथा

2 / 3

है

3. द्विघाती सूत्र द्वारा द्विघात समीकरण का हल ज्ञात करना : -

द्विघात समीकरण के मूल a𝓍² + b𝓍 + c = 0 के मूल

-b + √b² - 4ac / 2a

और

-b - √b² - 4ac / 2a

है यदि b² - 4ac ≥ 0 है |

यदि b² - 4ac < 0 है तो द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल नही होते है अर्थात् इस स्थिति में मूल काल्पनिक प्राप्त होते है | अत: यदि b² - 4ac ≥ 0 है तो द्विघात समीकरण a𝓍² + b𝓍 + c = 0 के मूल

-b + √b² - 4ac / 2a

है |

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के इस सूत्र को द्विघाती सूत्र ( Quadratic formula ) कहते है |

इस विधि को भी हम एक उदाहरण की सहायता से समझेंगे |

द्विघात समीकरण 𝓍² + 2𝓍 - 143 = 0 के मूल द्विघाती सूत्र से ज्ञात कीजिए ?

इस समीकरण की तुलना द्विघात समीकरण के मानक रूप a𝓍² + b𝓍 + c = 0 से करने पर
a = 1 , b = 2 , c = -143

द्विघात सूत्र से :-

𝓍 =

-b + √b² - 4ac / 2a

𝓍 =

-2 + √2² - 4(1)(-143) / 2(1)

𝓍 =

-2 + √4 + 572 / 2

𝓍 =

-2 + √576 / 2

𝓍 =

-2 + 24 / 2

स्थिति-I :-

यदि 𝓍 =

-2 + 24 / 2

𝓍 = 11

स्थिति-II :-

यदि 𝓍 =

-2 - 24 / 2

𝓍 = -13

अत: द्विघात समीकरण के दो मूल 11 और -13 है |

Note :- द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने की तीनों विधियों से एक ही मान प्राप्त होते है |

द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति :-

द्विघात समीकरण a𝓍² + b𝓍 + c = 0 के

1. दो भिन्न वास्तविक मूल होते है यदि b² - 4ac > 0 हो
2. दो बराबर वास्तविक मूल होते है , यदि b² - 4ac = 0 हो
3. कोई वास्तविक मूल नही होता , यदि b² - 4ac < 0 हो

द्विघात समीकरण का विविक्तकर ( Discriminant) किसे कहते है :-

द्विघात समीकरण का मानक रूप -
a𝓍² + b𝓍 + c = 0

जहाँ 𝓍 =

-b + √b² - 4ac / 2a

माना द्विघात समीकरण के दो मूल α तथा β है |

तब α =

-b + √b² - 4ac / 2a

तथा β =

-b - √b² - 4ac / 2a

माना b² - 4ac = D

तब α =

-b + √ D / 2a

तथा β =

-b - √ D / 2a

यहाँ निर्दिष्ट D को ही द्विघात समीकरण का विविक्तकर कहते है |

तब द्विघात समीकरणों के मूलों का योग -

α + β =

-b / a

-(𝓍 का गुणांक ) / 𝓍² का गुणांक

द्विघात समीकरणों के मूलों का गुणनफल -

α.β =

c / a

अचर पद / 𝓍² का गुणांक

द्विघात समीकरण का सूत्र :-

𝓍² - (α + β)𝓍 + (α.β) = 0
𝓍² - (मूलों का योग )𝓍 + (मूलों का गुणनफल) = 0

द्विघात समीकरण ज्ञात करने का उदाहरण :-

यदि किसी द्विघात समीकरण के दो मूल 11 और -13 है तो द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए |

दिया है :- α = 11 , β = -13
तब 𝓍² - (α + β)𝓍 + (α.β) = 0
𝓍² - (11 - 13)𝓍 + [11.(-13)] = 0
𝓍² - (-2𝓍) + (-143) = 0
𝓍² + 2𝓍 - 143 = 0

द्विघात समीकरण के गुणनखंड :-

यदि α , β द्विघात समीकरण a𝓍² + b𝓍 + c = 0 के मूल है तब द्विघात समीकरण के गुणनखंड(factor) = ( 𝓍 - α ) (𝓍 - β)

द्विघात समीकरण के गुणनखंडो का योग :-

द्विघात समीकरण a𝓍² + b𝓍 + c = 0 के गुणनखंडो का योग = ( 𝓍 - α ) + (𝓍 - β)
= 2𝓍 - α - β
= 2𝓍 - (α + β)

= 2𝓍 - (

-b / a

)

= 2𝓍 +

b / a

द्विघात समीकरण के सभी सूत्र :-

1. द्विघात समीकरण ( dwighat Samikaran) का व्यापक रूप :-

a𝓍² + b𝓍 + c
जहाँ a,b,c :- वास्तविक संख्याएं
तथा a ≠ 0

2. द्विघात समीकरण की अधिकतम घात :-

द्विघात समीकरण की अधिकतम घात 2 होती है |

3. द्विघात समीकरण के मूल या हल करने की विधियाँ :-

1. गुणनखंडो विधि
2. पूर्ण वर्ग विधि
3. द्विघात सूत्र विधि

4. द्विघाती सूत्री ( dwigati sutra ) :-

𝓍 =

-b + √b² - 4ac / 2a

जहाँ √b² - 4ac ≥ 0

5. द्विघात समीकरण का विविक्तकर ( Discriminant) :-

b² - 4ac = D
D को द्विघात समीकरण का विविक्तकर कहते है |

6. द्विघात समीकरण के दोनों मूल :-

α =

-b + √b² - 4ac / 2a

-b + √D / 2a

β =

-b - √b² - 4ac / 2a

-b - √D / 2a

7. द्विघात समीकरणों के मूलों का योग -

α + β =

-b / a

-(𝓍 का गुणांक ) / 𝓍² का गुणांक

8. द्विघात समीकरणों के मूलों का गुणनफल -

α.β =

c / a

अचर पद / 𝓍² का गुणांक

9. द्विघात समीकरण का फ़ॉर्मूला :-

𝓍² - (α + β)𝓍 + (α.β) = 0

10. द्विघात समीकरण के गुणनखंडो का योग :-

( 𝓍 - α ) + (𝓍 - β) = 2𝓍 +

b / a

11. द्विघात समीकरण meaning/translate in english :-

Quadratic Equation

12. Quadratic Equation meaning in hindi :-

द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण के सवाल / Dwighat samikaran Question and Answer :-

1. द्विघात समीकरण 𝓍² - 8𝓍 + 15 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए |

Ans. :-
गुणनखंड विधि से -
𝓍² - (3𝓍 + 5𝓍) + 15 = 0
𝓍² - 3𝓍 - 5𝓍 + 15 = 0
𝓍(𝓍 - 3) - 5(𝓍 - 3) = 0
(𝓍 - 3)(𝓍 - 5) = 0

स्थिति I :-

यदि 𝓍 - 3 = 0
𝓍 = 3

स्थिति - II :-

यदि 𝓍 - 5 = 0
𝓍 = 5
अत: द्विघात समीकरण के दो मूल 3 और 5 है |

2. यदि किसी द्विघात समीकरण के दो मूल 3 और 5 है तो द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए |

Ans. :- 𝓍² - (मूलों का योग )𝓍 + (मूलों का गुणनफल) = 0
𝓍² - (3+5)𝓍 + (3x5) = 0
𝓍² - 8𝓍 + 15 = 0

3. द्विघात समीकरण के मूलों की संख्या बताइए ?

द्विघात समीकरण a𝓍² + b𝓍 + c = 0 के दो मूल α तथा β है |