त्रुटियों का संयोजन ( Combination of errors ) PDF Download

त्रुटियों का संयोजन :-

जब किसी भौतिक राशि की त्रुटिपूर्ण माप को जोड़ा , घटाया , गुणा या भाग किया जाता है तो अंतिम परिमाण त्रुटिपूर्ण प्राप्त होता है
परिमाण में उत्पन्न यह त्रुटि , त्रुटियों का संयोजन कहलाती है
त्रुटियों के संयोजन को निम्नलिखित प्रकार से समझ सकते है -

1. जोड़ने (संकलन) की त्रुटि :-

दो भौतिक राशियों की माप A एवं B है -
𝓍 = A + B .......(1) यदि ΔA = A के मान में उत्पन्न त्रुटि
ΔB = B के मान में उत्पन्न त्रुटि ( 𝓍 ± Δ𝓍 ) = ( A ± ΔA ) + ( B ± ΔB ) ( 𝓍 ± Δ𝓍 ) = A ± ΔA + B ± ΔB ( 𝓍 ± Δ𝓍 ) = A + B ± ΔA ± ΔB ....(2) समीकरण 2 में समीकरण 1 से 𝓍 का मान रखने पर ( 𝓍 ± Δ𝓍 ) = 𝓍 ± ΔA ± ΔB ± Δ𝓍 = ± ΔA ± ΔB अंतिम परिमाण में उत्पन्न त्रुटि Δ𝓍 = ± ( ΔA + ΔB )

2. घटाने या व्यकलन की त्रुटि

माना दो भौतिक राशि A व B जिनके मापित मान क्रमशः A ± ΔA एवं B ± ΔB है जहाँ ΔA = A के मान में उत्पन्न निरपेक्ष त्रुटि
ΔB = B के मान में उत्पन्न निरपेक्ष त्रुटि
घटाने पर :- 𝓍 = A - B .......(1) ( 𝓍 ± Δ𝓍 ) = ( A ± ΔA ) - ( B ± ΔB ) ( 𝓍 ± Δ𝓍 ) = A ± ΔA - B ± ΔB ( 𝓍 ± Δ𝓍 ) = A - B ± ΔA ± ΔB ....(2) समीकरण 2 में समीकरण 1 से 𝓍 का मान रखने पर ( 𝓍 ± Δ𝓍 ) = 𝓍 ± ΔA ± ΔB ....(2) ± Δ𝓍 = ± ΔA ± ΔB ....(2) अंतिम परिमाण में उत्पन्न त्रुटि Δ𝓍 = ± ( ΔA + ΔB ) अर्थात् जब दो राशियों को जोड़ा या घटाया जाता है तो अंतिम परिणाम में उत्पन्न निरपेक्ष त्रुटि , उन राशियों में उत्पन्न निरपेक्ष त्रुटि के योग के बराबर होती है

3. गुणनफल की त्रुटि :

यदि किसी दो भौतिक राशियों की माप A व B है तब - 𝓍 = A ∙ B .......(1) यदि ΔA = A के मान में उत्पन्न निरपेक्ष त्रुटि
ΔB = B के मान में उत्पन्न निरपेक्ष त्रुटि ( 𝓍 ± Δ𝓍 ) = ( A ± ΔA ) ∙ ( B ± ΔB )

𝓍 [ 1 ±

Δ𝓍 / 𝓍

] = A [ 1 ±

ΔA / A

] ∙ B [ 1 ±

ΔB / B

]

𝓍 [ 1 ±

Δ𝓍 / 𝓍

] = A ∙ B [ 1 ±

ΔA / A

] [ 1 ±

ΔB / B

]

समीकरण 2 में समीकरण 1 से मान रखने पर

𝓍 [ 1 ±

Δ𝓍 / 𝓍

] = 𝓍 [ 1 ±

ΔA / A

] [ 1 ±

ΔB / B

]

[ 1 ±

Δ𝓍 / 𝓍

] = [ 1 ±

ΔA / A

] [ 1 ±

ΔB / B

]

1 ±

Δ𝓍 / 𝓍

= 1 ±

ΔB / B

ΔA / A

∙

ΔB / B

Δ𝓍 / 𝓍

= ±

ΔB / B

ΔA / A

∙

ΔB / B

चूँकि निरपेक्ष त्रुटि ΔA व ΔB के मान अत्यंत सूक्ष्म है इसलिए ΔA/A . ΔB/B का मान अत्यंत सूक्ष्म होगा इसलिए ΔA/A . ΔB/B के पद को छोड़ने पर -

Δ𝓍 / 𝓍

= ±

ΔB / B

ΔA / A

गुणन की अधिकतम त्रुटि -

Δ𝓍 / 𝓍

= ± [

ΔA / A

ΔB / B

]

4. भागफल की त्रुटि :-

यदि किसी दो भौतिक राशियों की माप A व B है तब -

𝓍 =

A / B

......(1)

यदि ΔA = A के मान में उत्पन्न निरपेक्ष त्रुटि
ΔB = B के मान में उत्पन्न निरपेक्ष त्रुटि
तब

( 𝓍 ± Δ𝓍 ) =

A ± ΔA / B ± ΔB

𝓍 ( 1 ±

Δ𝓍 / 𝓍

) =

A / B

( 1 ± ΔA/A )¹ / ( 1 ± ΔB/B )¹

.....(2)

समीकरण 2 में समीकरण 1 का मान रखने पर

𝓍 ( 1 ±

Δ𝓍 / 𝓍

) = 𝓍

( 1 ± ΔA/A )¹ / ( 1 ± ΔB/B )¹

( 1 ±

Δ𝓍 / 𝓍

) = [ 1 ±

ΔA / A

]1 [ 1 ±

ΔB / B

]-1

( 1 ±

Δ𝓍 / 𝓍

) = [ 1 ±

ΔA / A

] [ 1 ∓

ΔB / B

]

( 1 ±

Δ𝓍 / 𝓍

) = 1 ∓

ΔB / B

ΔA / A

∓

ΔA / A

∙

ΔB / B

Δ𝓍 / 𝓍

= ∓

ΔB / B

ΔA / A

∓

ΔA / A

∙

ΔB / B

चूँकि निरपेक्ष त्रुटि ΔA व ΔB के मान अत्यंत सूक्ष्म है इसलिए ΔA/A तथा ΔB/B का मान अत्यंत सूक्ष्म होगा इसलिए ΔA/A . ΔB/B के मान को छोड़ने पर -
तब -

Δ𝓍 / 𝓍

= ∓

ΔB / B

ΔA / A

भाग की अधिकतम त्रुटि -

Δ𝓍 / 𝓍

= ± [

ΔA / A

ΔB / B

]

मापित राशि की घातों के प्रकरण में त्रुटि :-

माना किसी भौतिक राशि की माप A है
तब x = A² x = A.A

Δ𝓍 / 𝓍

= ±

ΔA / A

घातों की अधिकतम त्रुटि

Δ𝓍 / 𝓍

= ± [

ΔA / A

]