बहुपद की परिभाषा,सूत्र,प्रकार एवं उदाहरण | Question and Answer | PDF Download |

बहुपद की परिभाषा,सूत्र,प्रकार एवं उदाहरण | Question and Answer | PDF Download |

इस लेख में हमारे द्वारा बहुपद की परिभाषा,सूत्र,प्रकार एवं उदाहरण और महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी दिए गए है जो कक्षा 8 से 10,कक्षा 9 NCERT बहुपद notes in hindi तथा 11 एवं 12 के लिए अतिमहत्वपूर्ण है | कक्षा 8 से 10 NCERT के लिए तो यह लेख बहुत ही फायदेमंद है | आप हमे नीचे comment करके बता सकते है कि आपको यह लेख कैसा लगा |

{tocify} $title={Table of Contents}

Bahupad ki paribhasha , udaharan, sutra , prakar, question and answer :-

बहुपद क्या है / बहुपद किसे कहते है ?

बहुपद की परिभाषा के अनुसार , चर एवं अचर पदों के समूह से बनने वाले व्यंजक को बहुपद कहते है |
किसी बहुपदीय व्यंजक में धनात्मक तथा ऋणात्मक चिन्ह दोनों शामिल हो सकते है |


Bahupad Meaning in English - Polynomial

Polynomial Meaning/translate in Hindi - बहुपद


बहुपद के उदाहरण ( Bahupad Examples ) :-

4𝓍 + 3
2𝓍2 + 3𝓍 + 5 आदि |


बहुपद की घात ( Degree of Polynomial ) किसे कहते है ? :-

बहुपद की घात की परिभाषा के अनुसार, चर 𝓍 के बहुपद P(𝓍) में 𝓍 की उच्चतम घात ( Power ) , बहुपद की घात ( Degree) कहलाती है |
उदाहरण :- 5𝓍 + 3 में चर 𝓍 की उच्चतम घात 1 है |
3𝓍3 + 4𝓍 + 5 में चर 𝓍 की उच्चतम घात 3 है |


बहुपद का शुन्यक ( Zeros) किसे कहते है ?

यदि P(𝓍) ; 𝓍 में कोई बहुपद है और K कोई वास्तविक संख्या है , तो P(𝓍) में 𝓍 को k से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त वास्तविक संख्या P(𝓍) का 𝓍 = k पर मान कहलाती है और इसे P(k) से निरुपित करते है |

अधिक व्यापक रूप में , एक वास्तविक संख्या k बहुपद P(𝓍) की शुन्यक कहलाती है यदि P(𝓍) = 0 हो |

साधारण शब्दों में कहा जाए तो , वह वास्तविक संख्या जिसके लिए किसी बहुपद का मान शून्य प्राप्त हो , उस वास्तविक संख्या को बहुपद का शून्यक कहते है |
उदाहरणार्थ :- 4𝓍 - 8 𝓍 = 2 रखने पर 4(2) - 8 = 8 - 8 = 0 अत: 2, बहुपद 4𝓍 - 8 का एक शून्यक है |


बहुपद की पहचान कैसे की जाती है ?

यहाँ हम सीखेंगे कि बहुपद कैसे पहचाने ? कोई भी गणितीय व्यंजक एक बहुपद होगा यदि उसके सभी पदों की घात एक धनात्मक पूर्णांक हो | यदि किसी व्यंजक की घात , भिन्न , ऋणात्मक पूर्णांक या अपरिमेय संख्या हो तो वह व्यंजक बहुपद नहीं कहलाएगा |


बहुपद की पहचान करने के उदाहरण :-

(1) 2𝓍2 + 𝓍 + 3 , एक बहुपद है क्योकिं 𝓍 की घात धनात्मक है | (2) y2 + 5 , एक बहुपद है क्योकिं y की घात धनात्मक है | (3) z + 5 , बहुपद नहीं है क्योकिं z की घात एक भिन्न है | (4) 𝓍-1 + 2 , बहुपद नही है क्योकि 𝓍 की घात ऋणात्मक है |


बहुपद के प्रकार ( Bahupad ke prakar)

बहुपद के प्रकार ( Bahupad ke prakar) :-

यहाँ हम जानेगें की बहुपद कितने प्रकार के होते है -

बीजीय बहुपद (Algebraic Polynomial) किसे कहते है ?

बीजीय बहुपद की परिभाषा के अनुसार , चर एवं अचर बहुपद के सम्मिलित रूप को बीजीय बहुपद कहते है |


बीजीय बहुपद के उदाहरण :-

𝓍 + 5 , -y + 2 आदि |


बीजीय बहुपद के प्रकार :-

बीजीय बहुपद मुख्यतः दो प्रकार के होते है जिनका परिभाषा एवं उदाहरण सहित वर्णन निम्न प्रकार है -

(1) अचर बहुपद (Achar Bahupad) :-

बहुपद का वह पद जिसका मान हमेशा स्थिर रहें , उसे अचर बहुपद कहते है |
अचर बहुपद के उदाहरण :- बहुपद 𝓍 + 5 में 5 एक अचर बहुपद है क्योकि इसका मान सदैव स्थिर रहता है | अचर बहुपद की घात शून्य होती है |

(2) चर बहुपद (Char Bahupad) :-

बहुपद का वह पद जिसका मान हमेशा परिवर्तित होता रहता है इसे चर बहुपद कहते है |
चर बहुपद के उदाहरण :- 𝓍2 + 3𝓍 + 4 चर बहुपद को अंग्रेजी के अक्षर ( 𝓍 , y , z ) द्वारा व्यक्त किया जाता है |

(2) घात के आधार पर बहुपद :-

बहुपद को घात के आधार पर मुख्यतः चार भागों में बांटा गया है जिनका परिभाषा एवं उदाहरण सहित वर्णन निम्न प्रकार है -

1. रैखिक बहुपद ( Linear Polynomial) किसे कहते है ?

रेखिक बहुपद की परिभाषा के अनुसार , वह बहुपद जिसमे चर की अधिकतम घात 1 हो , रैखिक बहुपद कहलाता है |

रैखिक बहुपद के उदाहरण :-

2𝓍 - 3 y + 5 आदि |

रैखिक बहुपद का व्यापक रूप या मानक रूप :-

a𝓍 + b जहाँ a,b :- वास्तविक संख्याएँ तथा a ≠ 0 जब हम रैखिक बहुपद को शून्य के बराबर रख देते है तो हमें रैखिक समीकरण प्राप्त होता है |
a𝓍 + b = 0 उपरोक्त समीकरण रैखिक समीकरण का मानक रूप कहलाता है |

रैखिक बहुपद में शून्यको की संख्या :-

रैखिक बहुपद का केवल एक ही शुन्यक प्राप्त होता है |

रैखिक बहुपद का शून्यक (Zeros) का सूत्र :-
रैखिक बहुपद a𝓍 + b का शुन्यक =
-b / a
=
-(अचर पद) / 𝓍 का गुणांक

(2) द्विघात बहुपद ( Quadratic Polynomial) किसे कहते है ?

द्विघात बहुपद की परिभाषा के अनुसार , वह बहुपद जिसमें चर की अधिकतम घात 2 हो , द्विघात बहुपद कहलाता है |

द्विघात बहुपद के उदाहरण :-

y2 - 2 2𝓍2 + 3𝓍 + 5 आदि |

द्विघात बहुपद का मानक रूप या व्यापक रूप :-

a𝓍2 + b𝓍 + c जहाँ a,b,c :- वास्तविक संख्याएँ तथा a ≠ 0 जब हम द्विघात बहुपद a𝓍2 + b𝓍 + c को शून्य के बराबर रख देते है तो हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है | a𝓍2 + b𝓍 + c = 0 उपरोक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है |

द्विघात बहुपद के शुन्यंको की संख्या :-

द्विघात बहुपद में शुन्यांकों की संख्या 2 होती है जिन्हें α तथा β से व्यक्त किया जाता है |

द्विघात बहुपद के शुन्यंको का योग का सूत्र :-
शुन्यंको का योग (α + β) =
-b / a
=
-( 𝓍 का गुणांक ) / 𝓍2 का गुणांक
द्विघात बहुपद के शुन्यंको का गुणनफल का सूत्र :-
शुन्यंको का गुणनफल (α.β) =
c / a
=
अचर पद / 𝓍2 का गुणांक
द्विघात बहुपद का सूत्र ( Dwighat bahupad formula in hindi ) :-

यदि द्विघात बहुपद के शुन्यकों का योग (α + β) तथा शुन्यंको का गुणनफल (α.β) ज्ञात हो तो द्विघात बहुपद निम्न सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है - द्विघात बहुपद = 𝓍2 - ( शुन्यंको का योग )𝓍 + ( शुन्यंको का गुणनफल ) = 𝓍2 - (α + β)𝓍 + (α.β) साधारण शब्दों में इसे " द्विघात बहुपद बनाने का सूत्र " कहते है |


(3) त्रिघात बहुपद ( Cubic Polynomial ) किसे कहते है ?

त्रिघात बहुपद की परिभाषा के अनुसार , वह बहुपद जिसमें चर की अधिकतम घात 3 हो , त्रिघात बहुपद कहलाता है |

त्रिघात बहुपद के उदाहरण :-

𝓍3 -𝓍3 + 2 3𝓍3 - 2𝓍2 + 𝓍 - 1 आदि |

त्रिघात बहुपद का मानक रूप या व्यापक रूप :-

a𝓍3 + b𝓍2 + c𝓍 + d = 0 जहाँ a,b,c,d :- वास्तविक संख्याएँ
तथा a ≠ 0
जब हम त्रिघात बहुपद a𝓍3 + b𝓍2 + c𝓍 + d को शून्य के बराबर रख देते है तो हमें त्रिघात बहुपद प्राप्त होता है | a𝓍3 + b𝓍2 + c𝓍 + d = 0 उपरोक्त समीकरण त्रिघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है |

त्रिघात बहुपद के शुन्यंको की संख्या :-

त्रिघात बहुपद में शुन्यांकों की संख्या 3 होती है जिन्हें α,β तथा γ से व्यक्त किया जाता है |

त्रिघात बहुपद के शुन्यंको का योग का सूत्र :-
शुन्यंको का योग (α + β + γ ) =
-( 𝓍2 का गुणांक ) / 𝓍3 का गुणांक
α + β + γ =
-b / a
त्रिघात बहुपद के शुन्यंको का गुणनफल का सूत्र :-
शुन्यंको का गुणनफल (α.β.γ) =
- (अचर पद ) / 𝓍3 का गुणांक
α.β.γ =
- d / a
तथा α.β + β.γ + γ.α =
c / a
त्रिघात बहुपद का सूत्र ( Trighat Bahupad Formula) :-

यदि हमें त्रिघात बहुपद के तीनों शुन्यक α , β तथा ज्ञात हो तो हम त्रिघात बहुपद निम्न सूत्र से प्राप्त कर सकते है - त्रिघात बहुपद = 𝓍3 - (α + β + γ )𝓍2 + ( α.β + βγ + γα)𝓍 - (α.β.γ)


(4) शून्य बहुपद (Zero Polynomials) किसे कहते है ?

शून्य बहुपद की परिभाषा के अनुसार , बहुपद p(𝓍) = 0 को शून्य बहुपद कहते है | शून्य बहुपद की घात बतायी नही जाती है |
सामान्यत: इसे 0 बहुपद कहा जाता है |


पदों के आधार पर बहुपद का वर्गीकरण :-

पद के आधार पर बहुपद मुख्यतः तीन प्रकार के होते है जिनका परिभाषा एवं उदाहरण सहित वर्णन निम्न प्रकार है -

(1) एकपदी बहुपद ( Monomial) किसे कहते है ?

एकपदी बहुपद की परिभाषा के अनुसार , वह बहुपद जिसमें पद की संख्या 1 हो , एकपदी बहुपद कहलाता है |

एकपदी बहुपद के उदाहरण :-

𝓍 , 𝓍3 , 5 आदि |

(2) द्विपदी बहुपद ( Binomial) किसे कहते है ?

द्विपदी बहुपद की परिभाषा के अनुसार , वह बहुपद जिसमें पदों की संख्या 2 हो , द्विपदी बहुपद कहलाता है |

द्विपदी बहुपद के उदाहरण :-

𝓍 + 8 , 𝓍2 - 3 , 𝓍4 + 3 आदि |

(3) त्रिपदी बहुपद ( Trinomial ) किसे कहते है ?

त्रिपदी बहुपद की परिभाषा के अनुसार , वह बहुपद जिसमें पदों की संख्या तीन हो , त्रिपदी बहुपद कहलाता है |

त्रिपदी बहुपद के उदाहरण :-

𝓍2 + 3𝓍 + 8 , 3𝓍3 + 2𝓍2 + 5 आदि |

बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथम :-

विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, दिए गए बहुपद p(𝓍) और शुन्येतर बहुपद g(𝓍) के लिए दो ऐसे बहुपदों q(𝓍) तथा r(𝓍) का अस्तित्व है कि - p(𝓍) = g(𝓍).q(𝓍) + r(𝓍) जहाँ r(𝓍) = 0 या घात r(𝓍) < घात g(𝓍) है |

बहुपद की भाग विधि :-

इसे बहुपद वाला भाग भी कहते है |
यहाँ हम बहुपदों के विभाजन को एक उदाहरण की सहायता से समझेगें और यह भी समझेंगे कि बहुपद का भाग कैसे करे |

चरण - I :- सर्वप्रथम भाजक एवं भाज्य के पदों को घटाती हुई घातों के क्रम में व्यवस्थित करते है |

 बहुपद की भाग विधि - I

चरण - II :- भाज्य के प्रथम पद ( 2𝓍2) को भाजक के प्रथम पद ( 𝓍 ) से भाग देंगे ( 2𝓍2 / 𝓍 = 2𝓍 ) प्राप्त भागफल 2𝓍 को सम्पूर्ण भाजक से गुणा करेंगे | 2𝓍 ( 𝓍 + 2 ) = 2𝓍2 + 4𝓍

बहुपद की भाग विधि - II

चरण - III :- अब पुन: -𝓍 + 1 के प्रथम पद ( -𝓍 ) में भाजक के प्रथम पद ( 𝓍 ) से भाग करेंगे ( -𝓍/y = -1)
प्राप्त भागफल -1 को सम्पूर्ण भाजक से गुणा करेंगे | -1 ( 𝓍 + 2 ) = - 𝓍 - 2

बहुपद की भाग विधि - III

बहुपद से सम्बंधित प्रश्नोतरी ( Bahupad Question and Answer ) :-

(1) नीचे दिए गए रैखिक बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए |

(1) 𝓍 + 5
रैखिक बहुपद 𝓍 + 5 का शून्यक = -( अचर पद ) / 𝓍 का गुणांक = - (5) / 1 = -5

(2) 4𝓍 + 3
रैखिक बहुपद 4𝓍 + 3 का शून्यक = -b/a = -3/4

(3) 8𝓍 + 14
रैखिक बहुपद 8𝓍 + 14 का शुन्यक = -b/a = -14/8 = -7/4

(4) 2𝓍 + 5
रैखिक बहुपद 2𝓍 + 5 का शुन्यक = -b/a = -5/2

(2) नीचे दिए गए द्विघात बहुपदों के शुन्यक ज्ञात कीजिए -

(1) 𝓍2 - 3 द्विघात बहुपद 𝓍2 - 3 के शुन्यक 𝓍2 - 3 = 𝓍2 - (5)2 (𝓍 - 3) (𝓍 + 3) अत: बहुपद 𝓍2 - 3 के शुन्यक 3 और -3 है |

(2) 𝓍2 - 8𝓍 + 12 द्विघात बहुपद 𝓍2 - 8𝓍 + 12 के शुन्यक 𝓍2 - 8𝓍 + 12 = 𝓍2 - 2𝓍 - 6𝓍 + 12 𝓍(𝓍 - 2) - 6(𝓍 - 2) (𝓍 - 2) (𝓍 - 6) अत: बहुपद 𝓍2 - 8𝓍 + 12 के शुन्यक 2 और 6 है |

बहुपद Y2 - 5Y + 6 के गुणनखंड कीजिए -

Y2 - 5Y + 16 = Y2 - 2Y - 3Y + 6 Y(Y - 2) - 3(Y - 2) (Y - 3) (Y - 2) अत: बहुपद Y2 - 5Y + 6 के गुणनखंड (Y - 3) और (Y - 2) है |

बहुपद 12𝓍2 - 7𝓍 + 1 के गुणनखंड कीजिए |

12𝓍2 - 7𝓍 + 1 = 12𝓍2 - 3𝓍 - 4𝓍 + 1 = 3𝓍 ( 4𝓍 - 1 ) -1 ( 4𝓍 - 1 ) = ( 3𝓍 - 1 ) ( 4𝓍 - 1 ) अत: बहुपद 12𝓍2 - 7𝓍 + 1 के गुणनखंड ( 3𝓍 - 1 ) ( 4𝓍 - 1 ) है |

नीचे दिए गए बहुपद की घात लिखिए |

1. 5𝓍3 + 4𝓍2 + 7𝓍
बहुपद 5𝓍3 + 4𝓍2 + 7𝓍 की घात = 3

2. 𝓍2 + 2𝓍 + 1
बहुपद 𝓍2 + 2𝓍 + 1 की घात = 2

शेषफल प्रमेय ( Remainder Theorem ) किसे कहते है ?

शेषफल प्रमेय की परिभाषा के अनुसार , माना कि P(𝓍) एक से अधिक या एक के बराबर घात वाला एक बहुपद है और मानाकि a कोई वास्तविक संख्या है यदि P(𝓍) को रैखिक बहुपद (𝓍 - a) से भाग दिया जाए , तो शेषफल P(a) होता है |

शेषफल प्रमेय पर आधारित उदाहरण :-

𝓍4 + 𝓍3 + 𝓍2 + 𝓍 + 1 को ( 𝓍 - 1 ) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात कीजिए |
बहुपद 𝓍 - 1 का शून्यक 1 है |
तब P(𝓍) = 𝓍4 + 𝓍3 + 𝓍2 + 𝓍 + 1 P(1) = (1)4 + (1)3 + (1)2 + 1 + 1 = 2 अत: शेषफल 2 होगा |

गुणनखंड प्रमेय ( Factor Theorem) किसे कहते है ?

गुणनखंड प्रमेय की परिभाषा के अनुसार , यदि P(𝓍) घात n 1 वाला एक बहुपद हो और a कोई वास्तविक संख्या हो , तो -
𝓍 - a , P(𝓍) का एक गुणनखंड होता है यदि P(a) = 0 हो , और
P(a) = 0 होता है , यदि ( 𝓍 - a) , P(𝓍) का एक गुणनखंड हो |

गुणनखंड प्रमेय पर आधारित उदाहरण :-

जाँच कीजिए कि 𝓍 + 2 , बहुपद 2𝓍 + 4 का एक गुणनखंड है या नही ?
𝓍 + 2 का शून्यक -2 है |
तब P(𝓍) = 2𝓍 + 4
P(-2) = 2(-2) + 4 = 0
अत: गुणनखंड प्रमेय के अनुसार 𝓍 + 2 बहुपद 2𝓍 + 4 का एक गुणनखंड है |

महत्वपूर्ण बीजीय सर्वसमिकाएँ (सूत्र) :-

1. (𝓍 + y)2 = 𝓍2 + 2𝓍y + y2

2. (𝓍 - y)2 = 𝓍2 - 2𝓍y + y2

3. 𝓍2 - y2 = (𝓍 - y) (𝓍 + y)

4. (𝓍 + a) (𝓍 + b) = 𝓍2 + (a + b)𝓍 + ab

5. (𝓍 + y + z)2 = 𝓍2 + y2 + z2 + 2𝓍y + 2yz + 2z𝓍

6. (𝓍 + y)3 = 𝓍3 + y3 + 3𝓍y(𝓍 + y)

7. (𝓍 - y)3 = 𝓍3 - y3 - 3𝓍y(𝓍 - y)

8. 𝓍3 + y3 + z3 - 3𝓍yz = ( 𝓍 + y + z) ( 𝓍2 + y2 + z2 - 𝓍y - yz - z𝓍 )


बहुपद की परिभाषा,सूत्र,प्रकार एवं उदाहरण Download PDF

Download PDF

Download PDF
3.4 MB

✹ इन्हें भी पढ़े :-

  1. गणित के सभी सूत्र ( Maths ke sabhi sutra )
  2. समांतर श्रेणी / श्रेढ़ी की परिभाषा , सूत्र , प्रकार तथा प्रश्नोतरी
  3. गुणोत्तर श्रेणी की परिभाषा , सूत्र , प्रकार तथा महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी
  4. कोणों के प्रकार (Types of Angles) परिभाषा , उदाहरण एवं चित्र सहित
  5. प्रतिशतता के नियम , सूत्र तथा प्रतिशतता का अध्धयन | PERCENTAGE FORMULA |
  6. त्रिकोणमिति के सूत्र ( Trigonometry Formula)
  7. औसत के नियम,सूत्र एवं प्रश्नोत्तरी
  8. लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक के नियम,सूत्र एवं प्रश्नोत्तर (LCM and HCF in hindi)
  9. लाभ और हानि के सूत्र एवं महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तरी ( Profit and Loss Formula )
  10. बट्टा के सूत्र और महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तरी ( Discount Formulas )
  11. साधारण ब्याज / सरल ब्याज के सूत्र एवं महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तरी | Simple Interest Formula |
  12. चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र एवं महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तरी ( Compound Interest Formula and MCQS)
  13. विभाजकता के नियम / सूत्र ( Rules/Formulas of Divisibility )
  14. वृत्त के सूत्र ( circle Formula )
  15. त्रिभुज के सूत्र ( tribhuj formula )
  16. माध्य , माध्यक और बहुलक से सम्बंधित परिभाषा , सूत्र तथा प्रश्नोतरी
  17. घात और घातांक एवं करणी की महत्वपूर्ण परिभाषा एवं सूत्र ( Power , Indices and Surds )
  18. परिमेय संख्या ( Rational Number )
  19. वर्ग और वर्गमूल , भागफल विधि , अभाज्य गुणनखंड
  20. घन एवं घनमूल ( Cube and Cubic Root )
  21. गोले / अर्द्धगोले की परिभाषा एवं सूत्र
  22. वृत्त ( Circle ) से सम्बंधित परिभाषा , सूत्र एवं गुण ( नियम )
  23. बहुभुज एवं समबहुभुजो के सूत्र ( Polygon Formula )
  24. प्रिज्म ( Prism ) के सूत्र, परिभाषा एवं महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तरी
  25. पिरामिड ( PYRAMID ) के सूत्र
  26. समचतुष्फलक ( Tetrahedron ) के सूत्र
  27. Number System( संख्या पद्दति ) Important Questions For REET
  28. चतुर्भुज के सूत्र
  29. घन के सूत्र , गुण एवं नियम ( cube formula )
  30. घनाभ के सूत्र , गुण एवं नियम ( cuboid formula )
  31. बीजगणित के सूत्र ( Algebra Formula)
  32. चतुर्भुज के प्रकार ,उनके गुण एवं सूत्रों का अध्धयन
  33. टाइटल - निर्देशांक ज्यामिति से सम्बंधित परिभाषा , सूत्र तथा प्रश्नोतरी
  34. अवकलन के सूत्र तथा सीमा एवं सांतत्य की परिभाषा,सूत्र एवं प्रमेय
  35. अवकलनीयता एवं अवकलज (Differentiability and Derivatives)
  36. त्रिभुज के परिकेंद , अंत: केंद्र , गुरुत्व केंद्र एवं लंब केंद्र
  37. Alphabet Based Analogy ( वर्णमाला पर आधारित सादृश्यता ) Previous Year Questions
  38. Number Based Analogy ( संख्या पर आधारित सादृश्यता ) Previous Year Questions
  39. त्रिभुज की माध्यिका , शीर्षलंब , कोण समद्विभाजक तथा लंब समद्विभाजक का अध्धयन
  40. त्रिभुज के प्रकार
  41. त्रिभुज व त्रिभुज के महत्वपूर्ण गुण एवं नियम
  42. Coding and Decoding ( संकेतबद्धता ) Practice set - 1 [ Reasoning ]
  43. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन की परिभाषा , सूत्र , उपयोग तथा महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी
  44. वृत्त ( Circle) की परिभाषा , मानक/व्यापक सूत्र तथा महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी
  45. दीर्घवृत्त ( Ellipse) की परिभाषा , सूत्र तथा महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी
  46. अतिपरवलय(Hyperbola) का अर्थ,परिभाषा , सूत्र एवं महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी
  47. परवलय (Parabola) की परिभाषा , सूत्र तथा महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी
  48. सरल रेखा की परिभाषा , गुण , विशेषताएँ , सूत्र तथा प्रश्नोतरी
  49. गणितीय आगमन का सिद्दांत (Principal of Mathematical Induction)
  50. Number System Quiz Part - 1
  51. Number System (संख्या पद्धति) Formulas, Questions, Tricks, PDF Download

Maths Notes की Free PDF यहां से Download करें


सभी बिषयवार Free PDF यहां से Download करें

एक टिप्पणी भेजें (0)
और नया पुराने